余因子行列とクラメルの公式

余因子行列で逆行列を表し、クラメルの公式で連立 1 次方程式の解を求められる

前提

行列式（大学数学線形代数）
掃き出し法による逆行列（大学数学線形代数）

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算数中学高校大学大学院

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掃き出し法と連立 1 次方程式（大学数学線形代数）
掃き出し法による逆行列（大学数学線形代数）

説明

$n$ 次正方行列 $A$ の各成分の余因子を並べた「余因子行列」 $A$ を使うと、逆行列を $A^{- 1} = \frac{1}{d e t A} A$ という式で表せます。この式から、連立 1 次方程式 $A x = b$ の解の各成分を行列式の比 $x_{j} = \frac{d e t A _{j}}{d e t A}$ として書くクラメルの公式が導かれます。解のうち 1 つの成分だけが欲しいときや、係数に文字を含む方程式の解を式の形で書きたいときに役立ちます。

なぜそうしてよいのか

$A = (a_{ij})$ から第 $i$ 行と第 $j$ 列を取り除いた $n - 1$ 次の行列式を $D_{ij}$ とし、 $(i, j)$ 余因子を $Δ_{ij} = (- 1)^{i + j} D_{ij}$ とします。第 $i$ 行での余因子展開は $\sum_{k = 1}^{n} a_{ik} Δ_{ik} = det A$ でした。では、第 $i$ 行の成分に、別の第 $l$ 行 ( $l \neq = i$ ) の余因子を掛けて足した $\sum_{k} a_{ik} Δ_{l k}$ は何になるでしょうか。 $Δ_{l k}$ は第 $l$ 行を取り除いて作るので、第 $l$ 行の中身によりません。したがってこの和は、 $A$ の第 $l$ 行を第 $i$ 行の成分で置き換えた行列を、第 $l$ 行で余因子展開したものと同じです。その行列は同じ行を 2 つ持つので、交代性により行列式は $0$ です。まとめると $\sum_{k} a_{ik} Δ_{l k} = δ_{i l} det A$ です（ $δ_{i l}$ は $i = l$ なら $1$ 、そうでなければ $0$ ）。

そこで、 $(k, l)$ 成分を $Δ_{l k}$ とする行列 $A$ （余因子を並べてから転置したもの）を余因子行列と呼びます。すると $A A$ の $(i, l)$ 成分は $\sum_{k} a_{ik} Δ_{l k}$ なので、上の式は $A A = (det A) E$ と書けます。列での余因子展開を使えば、同じ理由で $A A = (det A) E$ も成り立ちます。よって $det A \neq = 0$ のとき $A^{- 1} = \frac{1}{d e t A} A$ です。逆に $det A = 0$ のときは、もし $A B = E$ となる $B$ があれば $det A \cdot det B = det E = 1$ となって矛盾するので、逆行列は存在しません。

$det A \neq = 0$ なら $A x = b$ の解はただ 1 つで $x = A^{- 1} b$ です。その第 $j$ 成分は $x_{j} = \frac{1}{d e t A} \sum_{i} Δ_{ij} b_{i}$ です。この和は、 $A$ の第 $j$ 列を $b$ で置き換えた行列 $A_{j}$ を第 $j$ 列で余因子展開した式そのものです（第 $j$ 列の余因子 $Δ_{ij}$ は第 $j$ 列の中身によらないため）。こうして $x_{j} = \frac{d e t A _{j}}{d e t A}$ が得られます。これがクラメルの公式です。

手順

係数行列 $A$ の行列式 $det A$ を計算し、 $det A \neq = 0$ を確かめる（ $det A = 0$ なら逆行列はなく、クラメルの公式も使えない）
逆行列が欲しいとき：すべての余因子 $Δ_{ij} = (- 1)^{i + j} D_{ij}$ を計算し、転置して並べた余因子行列 $A$ （ $(i, j)$ 成分が $Δ_{j i}$ ）を作る
$A^{- 1} = \frac{1}{d e t A} A$ とする。2 次なら $(a c b d)^{- 1} = \frac{1}{a d - b c} (d - c - b a)$ （ $a d - b c \neq = 0$ ）
連立方程式 $A x = b$ を解くとき：求めたい未知数 $x_{j}$ について、 $A$ の第 $j$ 列（ $x_{j}$ の係数の列）を右辺 $b$ で置き換えた行列 $A_{j}$ を作り、 $det A_{j}$ を計算する
$x_{j} = \frac{det A _{j}}{det A}$ として解の成分を得る

例題

連立 1 次方程式 $⎩ ⎨ ⎧ 2 x + y - z = 1 x + 3 y + 2 z = 13 x - y + z = 2$ の解の $z$ の値を、クラメルの公式で求めよ。

例題の解答

【手順 1】係数行列は $A = 211 13 - 1 - 1 21$ である。第 1 行で余因子展開すると
$det A = 2 (3 \cdot 1 - 2 \cdot (- 1)) - 1 (1 \cdot 1 - 2 \cdot 1) + (- 1) (1 \cdot (- 1) - 3 \cdot 1) = 10 + 1 + 4 = 15$
となる。 $det A \neq = 0$ なので解はただ 1 つで、クラメルの公式が使える。
【手順 4】 $z$ は第 3 列の未知数なので、 $A$ の第 3 列を右辺 $1132$ で置き換えて $A_{3} = 211 13 - 1 1132$ を作る。第 1 行で展開すると
$det A_{3} = 2 (3 \cdot 2 - 13 \cdot (- 1)) - 1 (1 \cdot 2 - 13 \cdot 1) + 1 (1 \cdot (- 1) - 3 \cdot 1) = 38 + 11 - 4 = 45$
となる。
【手順 5】 $z = \frac{det A _{3}}{det A} = \frac{45}{15} = 3$ 。
（検算：同じ方法で $x = 1, y = 2$ が得られる。 $2 \cdot 1 + 2 - 3 = 1$ 、 $1 + 6 + 6 = 13$ 、 $1 - 2 + 3 = 2$ とどの式も満たす。）

答え: $3$

よくある誤り

余因子を転置せずにそのまま並べてしまう誤り。正しくは $A$ の $(i, j)$ 成分は $Δ_{j i}$ である。2 次では $(a c b d)$ の余因子をそのまま並べると $(d - b - c a)$ で、これを転置した $(d - c - b a)$ が余因子行列である。
余因子の符号 $(- 1)^{i + j}$ を付け忘れ、小行列式 $D_{ij}$ をそのまま使ってしまう誤り。正しくは $Δ_{ij} = (- 1)^{i + j} D_{ij}$ で、たとえば $Δ_{12} = - D_{12}$ 、 $Δ_{23} = - D_{23}$ である。符号は市松模様 $+ - + - + - + - +$ になる。
クラメルの公式で、 $b$ を第 $j$ 列ではなく第 $j$ 行に入れてしまう誤り。正しくは未知数 $x_{j}$ の係数が縦に並ぶ第 $j$ 列を $b$ で置き換える。例題では $z$ の係数の列 $- 1 21$ を $1132$ に替える。
$det A = 0$ のときにもクラメルの公式を使おうとする誤り。 $0$ で割ることになるので使えない。このとき解は存在しないか無数にあるので、掃き出し法で調べる。たとえば $x + y = 1, 2 x + 2 y = 2$ は無数の解を持ち、 $x + y = 1, 2 x + 2 y = 3$ は解を持たない。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

余因子行列とクラメルの公式

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

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