線形代数の問題

方針　係数行列を $A$、右辺のベクトルを $\mathbf{b}$ とします。$\det A\ne 0$ のとき、クラメルの公式により
$$y=\frac{\det A_2}{\det A}$$
と求められます。ここで $A_2$ は、$A$ の第 2 列（$y$ の係数の列）を $\mathbf{b}$ で置き換えた行列です。
$$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 1& 3& 2\\ 1& 0& 1\end{array}\right),\mathbf{b}=\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 3\end{array}\right),A_2=\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 1\\ 1& 2& 2\\ 1& 3& 1\end{array}\right)$$

手順 1：$\det A$ を求める　第 3 行に $0$ があるので、第 3 行で余因子展開します。$(3,1)$ 余因子と $(3,3)$ 余因子は
$$(-1{)}^{3+1}\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 3& 2\end{array}\right|=2-3=-1,(-1{)}^{3+3}\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 3\end{array}\right|=6-1=5$$
です。$(3,2)$ 成分は $0$ なので、その項は $0$ になります。よって
$$\det A=1\cdot (-1)+0+1\cdot 5=4$$
です。$\det A\ne 0$ なので $A$ は正則であり、解はただ 1 組に決まります。したがってクラメルの公式が使えます。

手順 2：$\det A_2$ を求める　これも第 3 行で余因子展開します。各余因子は
$$(-1{)}^{3+1}\left|\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 2\end{array}\right|=6-2=4,$$
$$(-1{)}^{3+2}\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right|=-(4-1)=-3,$$
$$(-1{)}^{3+3}\left|\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& 2\end{array}\right|=4-3=1$$
です。よって
$$\det A_2=1\cdot 4+3\cdot (-3)+1\cdot 1=4-9+1=-4$$
です。

手順 3：クラメルの公式に代入する
$$y=\frac{\det A_2}{\det A}=\frac{-4}{4}=-1$$

（確認）同様にして $x=1,z=2$ も得られます。$(x,y,z)=(1,-1,2)$ を代入すると、$2-1+2=3$、$1-3+4=2$、$1+2=3$ となり、3 つの式をすべて満たします。

答え：$y=-1$

係数行列 $A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 1& 3& 2\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$、右辺 $b=(3,2,3{)}^T$ とする。

$\det A$ を第3行で展開する。
$\det A=1\cdot (1\cdot 2-1\cdot 3)+0+1\cdot (2\cdot 3-1\cdot 1)=-1+5=4$

$y$ 列を $b$ で置き換えた行列は $A_y=\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 1\\ 1& 2& 2\\ 1& 3& 1\end{array}\right)$。
$\det A_y=2(2\cdot 1-2\cdot 3)-3(1\cdot 1-2\cdot 1)+1(1\cdot 3-2\cdot 1)=2(-4)-3(-1)+1=-8+3+1=-4$

よって $y=\det A_y/\det A=-4/4=-1$。

検算として、第3式より $z=3-x$。第1式に代入して $2x+y+3-x=3$ より $x+y=0$。第2式に代入して $x+3y+6-2x=2$ より $-x+3y=-4$。$x=-y$ を代入して $4y=-4$ なので $y=-1$、$x=1$、$z=2$。第1式は $2-1+2=3$、第2式は $1-3+4=2$、第3式は $1+2=3$ で成り立つ。