行列の和・積と 2 次の逆行列

実数を成分とする 2 次正方行列
$$A=\left(\begin{array}{cc}4& 3\\ 2& 2\end{array}\right)$$
について、逆行列 $A^{-1}$ の $(1,2)$ 成分（1 行目・2 列目の成分）を求めよ。

実数を成分とする 2 次正方行列
$$A=\left(\begin{array}{cc}4& 3\\ 2& 5\end{array}\right)$$
は逆行列 $A^{-1}$ をもつ。$A^{-1}$ の $(2,1)$ 成分（2 行 1 列目の成分）を求めよ。

座標平面上の線形変換 $f$ を「原点のまわりに正の向き（反時計回り）に $\frac{\pi }{2}$ だけ回転する変換」とし、線形変換 $g$ を「$x$ 座標を $2$ 倍、$y$ 座標を $3$ 倍する変換」とする。$f$ を行ったあとに $g$ を行う合成変換 $g\circ f$ を行列の積で表し、点 $(1,2)$ の $g\circ f$ による像の座標を求めよ。

座標平面上の線形変換 $f$, $g$ を次のように定める。

• $f$：原点を中心とする角 $\frac{\pi }{3}$ の回転（反時計回り）
• $g$：点 $(x,y)$ を点 $(3x,y)$ に移す変換（$x$ 軸方向に $3$ 倍する拡大）

合成変換 $g\circ f$（まず $f$、次に $g$ を行う変換）を表す行列を求め、それを用いて点 $(4,2)$ の $g\circ f$ による像の座標を求めよ。答えは座標の組 $(X,Y)$ の形で答えよ。

${\mathbb{R}}^2$ の線形変換 $f$ は、標準基底に関する表現行列が
$$A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 3\end{array}\right)$$
であるとする。${\mathbf{u}}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right),{\mathbf{u}}_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)$ とし、基底 $\{{\mathbf{u}}_1,{\mathbf{u}}_2\}$ に関する $f$ の表現行列を $B$ とする。$B$ の $(1,2)$ 成分を求めよ。

${\mathbb{R}}^2$ の線形変換 $f$ を $f(\mathbf{x})=A\mathbf{x}$、
$$A=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 2\end{array}\right)$$
で定める。${\mathbb{R}}^2$ の基底
$${\mathbf{p}}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right),{\mathbf{p}}_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)$$
に関する $f$ の表現行列を $B$ とする。すなわち $B$ は
$$(f({\mathbf{p}}_1)f({\mathbf{p}}_2))=\left({\mathbf{p}}_1{\mathbf{p}}_2\right)B$$
を満たす $2$ 次正方行列である。$B$ の $(1,2)$ 成分を求めよ。

行列 $$A=\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ 2& 3\end{array}\right)$$ について、$n$ を正の整数とするとき、$A^n$ の $(2,1)$ 成分を $n$ の式で求めよ。

$E$ を 2 次単位行列とし、
$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 2\end{array}\right)$$
とする。$A^4=pA+qE$ を満たす実数 $p,q$ はただ 1 組に定まる。$p,q$ の値を組 $(p,q)$ の形で、この順に求めよ。

$E$ を 2 次単位行列とし、
$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ -1& 4\end{array}\right)$$
とする。ケーリー・ハミルトンの定理を用いて、
$$A^4=pA+qE$$
を満たす実数 $p,q$ を求めよ。答えは組 $(p,q)$ の形で答えよ。

行列
$$A=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ -1& 1\end{array}\right)$$
は対角化できない。$A$ のジョルダン標準形を利用して、正の整数 $n$ に対する $A^n$ の $(1,1)$ 成分を $n$ の式で求めよ。

$xy$ 平面上の 4 点 $(0,1),(1,1),(2,2),(3,4)$ に、直線 $y=a+bx$ を最小二乗法であてはめる。すなわち、実数 $a,b$ を動かして
$$S(a,b)=\sum _{i=1}^4(y_i-(a+b{x}_i){)}^2$$
を最小にする。ここで $(x_i,y_i)$ $(i=1,2,3,4)$ は上の 4 点である。$S(a,b)$ を最小にする $a,b$ を、組 $(a,b)$ の形で求めよ。

平面上の 4 点 $$(0,1),(1,2),(2,2),(3,4)$$ に、直線 $y=a+bx$（$a,b$ は実数）を最小二乗法であてはめる。すなわち、$$S(a,b)=\sum _{i=1}^4(y_i-(a+b{x}_i){)}^2$$ を最小にする実数 $a,b$ を求める。ここで $(x_i,y_i)$ $(i=1,2,3,4)$ は上の 4 点である。

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\\ 1& 2\\ 1& 3\end{array}\right),\mathbf{b}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\\ 4\end{array}\right),\mathbf{x}=\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)$$ とおくと、$S(a,b)=\Vert A\mathbf{x}-\mathbf{b}{\Vert }^2$（$\Vert \cdot \Vert$ は ${\mathbb{R}}^4$ の標準内積によるノルム）である。正規方程式 $A^{\mathsf{T}}A\mathbf{x}=A^{\mathsf{T}}\mathbf{b}$ を解いて、$S(a,b)$ を最小にする $a,b$ を組 $(a,b)$ の形で答えよ。

実数 $t$ の関数 $x_1(t),x_2(t)$ が、連立線形微分方程式
$$\{\begin{array}{l}{x}_1^{\prime }(t)=x_1(t)+2x_2(t)\\ x_2^{\prime }(t)=2x_1(t)+x_2(t)\end{array}$$
と初期条件 $x_1(0)=3,x_2(0)=1$ を満たすとする。行列 $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right)$ を対角化して $e^{tA}$ を求めることにより、$x_1(t)$ を求めよ。

実数 $t$ の関数 $x_1(t),x_2(t)$ が、連立線形微分方程式
$$\{\begin{array}{l}{x}_1^{\prime }(t)=x_1(t)+2x_2(t)\\ x_2^{\prime }(t)=2x_1(t)+x_2(t)\end{array}$$
と初期条件 $x_1(0)=3,x_2(0)=1$ を満たすとする。行列 $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right)$ を対角化して $e^{tA}$ を求め、それを用いて $x_1(t)$ を求めよ。

ルベーグ測度に関する複素ヒルベルト空間 $L^2([0,1])$ 上の積分作用素 $T$ を
$$(Tf)(x)={\int }_0^1(1+xy)f(y)dy(f\in L^2([0,1]),x\in [0,1])$$
で定める。$T$ の $0$ でない固有値をすべて求めよ。

空気中（屈折率 $1$）で、焦点距離 $f_1=20\mathrm{cm}$ の薄い凸レンズ ${\mathrm{L}}_1$ と、焦点距離 $f_2=-10\mathrm{cm}$ の薄い凹レンズ ${\mathrm{L}}_2$ を、共通の光軸上に間隔 $d=15\mathrm{cm}$ で置く。光は ${\mathrm{L}}_1$ の側から入射する。近軸光線近似が成り立つものとする。

このレンズ系全体の（後側）合成焦点距離は何 $\mathrm{cm}$ か。ただし合成焦点距離は、光線行列（ABCD 行列）を
$$\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right)$$
としたとき $f=-\frac{1}{C}$ で定め、光線の状態は（光軸からの高さ $y$、光軸となす角 $\theta$）の列ベクトルで表すものとする。

空気（屈折率 $1$）中で、焦点距離 $f_1=20\text{cm}$ の薄い凸レンズ $L_1$ と、焦点距離 $f_2=-10\text{cm}$ の薄い凹レンズ $L_2$ を、同じ光軸上に間隔 $d=15\text{cm}$ で置き、光が $L_1$、$L_2$ の順に通るようにした（望遠レンズの構成）。近軸近似のもとで、この 2 枚のレンズからなる系全体の有効焦点距離 $f$ を $\text{cm}$ 単位で求めよ。光線行列（ABCD 行列）を用いて求めてよい。

5 個のデータ点
$$(x_i,y_i)=(0,1),(1,2),(2,2),(3,4),(4,5)(i=1,2,3,4,5)$$
に、実数 $a,b$ を係数とする直線 $y=a+bx$ を当てはめる。残差の二乗和
$$S(a,b)=\sum _{i=1}^5{\left(y_i-a-b{x}_i\right)}^2$$
を最小にする $(a,b)$ を、正規方程式 $A^{\mathsf{T}}A\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)=A^{\mathsf{T}}\mathbf{y}$（$A$ は第 $i$ 行が $(1,x_i)$ の $5\times 2$ 行列、$\mathbf{y}=(y_1,\dots ,y_5{)}^{\mathsf{T}}$）を解いて求め、組 $(a,b)$ の形で答えよ。

実数 $x,y$ についての次の連立一次方程式を考える。
$$\{\begin{array}{l}x+y=1\\ x-y=2\\ 2x+y=4\end{array}$$
この連立方程式は解をもたない。そこで、各式の左辺と右辺の差の二乗和
$$S(x,y)=(x+y-1{)}^2+(x-y-2{)}^2+(2x+y-4{)}^2$$
を最小にする実数の組 $(x,y)$（最小二乗解）を考える。$S(x,y)$ を最小にする $(x,y)$ を求めよ。

実数 $x,y$ についての次の連立一次方程式を考える。
$$\{\begin{array}{l}x+y=2\\ x-y=0\\ 2x+y=5\end{array}$$
この連立方程式は解をもたない。そこで、残差の二乗和
$$S(x,y)=(x+y-2{)}^2+(x-y{)}^2+(2x+y-5{)}^2$$
を最小にする実数の組 $(x,y)$（最小二乗解）を考える。この組 $(x,y)$ をこの順に求めよ。

実数を成分とする行列 $$A=\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ 2& 3\end{array}\right)$$ を考える。ベクトルの最大値ノルム $\Vert \mathbf{x}{\Vert }_{\infty }={\max }_i|x_i|$ から誘導される行列ノルム（行和ノルム） $$\Vert M{\Vert }_{\infty }=\underset{i}{\max }\sum _j|m_{ij}|$$ を用いて定めた条件数 $${\kappa }_{\infty }(A)=\Vert A{\Vert }_{\infty }\Vert A^{-1}{\Vert }_{\infty }$$ の値を求めよ。

0 胞体 $x_0$ を 1 つ、1 胞体 $a,b$ を 2 つもち（それぞれ $x_0$ を基点とするループとして向きを定める）、2 胞体 $e_1,e_2$ を、境界がそれぞれループ $a^3$、$b^2$ に沿うように貼り付けて得られる CW 複体を $X$ とする。基本群 $G={\pi }_1(X,x_0)$ は無限群であるが、そのアーベル化 $G^{\mathrm{ab}}=G/[G,G]$ は位数 $6$ の有限群であることを証明せよ。ここで $[G,G]$ は $G$ の交換子部分群である。

ただし、次の事実は証明なしに用いてよい: 連結な CW 複体の 1 骨格が 1 点で束ねた円周の族で、その円周に対応するループを $g_1,\dots ,g_r$ とするとき、2 胞体を接着写像のループ $w_1,\dots ,w_s$ に沿って貼り付けた空間の基本群は、群の表示 $⟨g_1,\dots ,g_r\mid w_1,\dots ,w_s⟩$ で与えられる（ファン・カンペンの定理の帰結）。

$xy$ 平面上の 5 点で、ある量 $z$ を測定したところ、次のデータ $(x_i,y_i,z_i)$ $(i=1,2,3,4,5)$ を得た。
$$(0,0,1),(1,0,2),(0,1,4),(1,1,4),(2,1,7)$$
このデータに、実数 $a,b,c$ を係数とする平面のモデル $z=a+bx+cy$ を当てはめる。残差の二乗和
$$S(a,b,c)=\sum _{i=1}^5{\left(z_i-a-b{x}_i-c{y}_i\right)}^2$$
を $a,b,c$ が実数全体を動くときに考える。$S(a,b,c)$ の最小値を求めよ。

$2$ 次実正方行列全体 ${\mathbb{R}}^{2\times 2}$ に、フロベニウス内積 $⟨X,Y⟩=\mathrm{tr}(X^{\top }Y)$ とフロベニウスノルム $\Vert X{\Vert }_F=\sqrt{⟨X,X⟩}$ を入れる。$X$ の特異値を ${\sigma }_1(X)\ge {\sigma }_2(X)\ge 0$ とし、核ノルムを $\Vert X{\Vert }_{\ast }={\sigma }_1(X)+{\sigma }_2(X)$ と定める。凸関数 $f:{\mathbb{R}}^{2\times 2}\to \mathbb{R}$ を $f(X)=3\Vert X{\Vert }_{\ast }$ で定め、そのモロー包
$$e(A)=\underset{X\in {\mathbb{R}}^{2\times 2}}{\min }\left\{f(X)+\frac{1}{2}\Vert X-A{\Vert }_F^2\right\}$$
を考える。
$$A=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 4& 5\end{array}\right)$$
のとき、$e(A)$ の値を求めよ。

入力端子対 $1$-$1^{\prime }$ と出力端子対 $2$-$2^{\prime }$ をもつ二端子対回路 $\mathrm{N}$ を次のように作る。内部の節点を $\mathrm{M}$ とし、端子 $1$ と $\mathrm{M}$ の間に $4\Omega$ の抵抗、$\mathrm{M}$ と端子 $2$ の間に $2\Omega$ の抵抗、$\mathrm{M}$ と共通線の間に $4\Omega$ の抵抗をつなぐ。端子 $1^{\prime }$ と $2^{\prime }$ は共通線で直接つながっている（T 形回路）。

この回路 $\mathrm{N}$ を 2 つ用意し、1 つ目の $\mathrm{N}$ の端子対 $2$-$2^{\prime }$ を 2 つ目の $\mathrm{N}$ の端子対 $1$-$1^{\prime }$ にそのままつないで縦続接続する。縦続接続した回路の出力側（2 つ目の $\mathrm{N}$ の端子対 $2$-$2^{\prime }$）に $4\Omega$ の負荷抵抗をつなぎ、入力側（1 つ目の $\mathrm{N}$ の端子対 $1$-$1^{\prime }$）に直流電圧 $V_1$ を加えたところ、負荷抵抗の両端の電圧は $V_2$ になった。電圧の向きはいずれも端子 $1^{\prime }$, $2^{\prime }$ に対する端子 $1$, $2$ の電位とする。

$\mathrm{N}$ の Z パラメータと F パラメータ（縦続行列）を用いて、電圧比 $\frac{V_2}{V_1}$ を既約分数で求めよ。抵抗は理想的なものとし、導線の抵抗は無視する。

5 個のデータ点
$$(x_i,y_i)=(-2,3),(-1,1),(0,0),(1,1),(2,5)(i=1,2,3,4,5)$$
に、実数 $a,b,c$ を係数とする 2 次関数 $y=a+bx+c{x}^2$ を当てはめる。残差の二乗和
$$S(a,b,c)=\sum _{i=1}^5{\left(y_i-a-b{x}_i-c{x}_i^2\right)}^2$$
を最小にするように $a,b,c$ を定めるとき、$S$ の最小値を求めよ。

$n$ を正の整数とし、${\mathbb{R}}^n$ には標準内積 $(x,y)=x^{\mathsf{T}}y$ を考える。$n$ 次実正方行列 $A$ が次の 2 つの条件を満たすとする。
$$(1)A^2=A(2)\mathrm{tr}(A^{\mathsf{T}}A)=\mathrm{rank}A$$
このとき、$A$ は対称行列である（すなわち $A^{\mathsf{T}}=A$ である）ことを証明せよ。

ただし、${\mathbb{R}}^n$ の部分空間の正規直交基底を ${\mathbb{R}}^n$ 全体の正規直交基底に延長できること（グラム・シュミットの直交化法）、$\mathrm{rank}A$ が像 $\mathrm{Im}A=\{Ax\mid x\in {\mathbb{R}}^n\}$ の次元に等しいこと、トレースの性質 $\mathrm{tr}(XY)=\mathrm{tr}(YX)$ は用いてよい。

3 本の紐のブレイド群 $B_3$ の標準生成元を ${\sigma }_1,{\sigma }_2$ とする。$n$ を正の整数とし、ブレイド
$${\beta }_n=({\sigma }_1{\sigma }_2^{-1}{)}^n\in B_3$$
の閉包として得られる（向き付けられた）絡み目を $L_n$ とする（例えば $L_2$ は $4_1$、$L_3$ はボロミアン環である）。

絡み目 $L$ の行列式を $\det (L)=|{\Delta }_L(-1)|$ で定める。ここで ${\Delta }_L(t)$ は $L$ の 1 変数アレクサンダー多項式（単数 $\pm t^k$ 倍の差を除いて定まる）である。

次の事実を用いてよい。$B_3$ の被約ビュラウ表現 $\psi :B_3\to G{L}_2(\mathbb{Z}[t,t^{-1}])$ は
$$\psi ({\sigma }_1)=\left(\begin{array}{cc}-t& 1\\ 0& 1\end{array}\right),\psi ({\sigma }_2)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ t& -t\end{array}\right)$$
で与えられ、任意の $\beta \in B_3$ に対してその閉包 $\hat{\beta }$ について
$$(1+t+t^2){\Delta }_{\hat{\beta }}(t)\doteq \det (I-\psi (\beta ))$$
（$\doteq$ は単数 $\pm t^k$ 倍の差を除いて等しいことを表す）が成り立つ。

$\det (L_n)$ を $n$ の式で表せ。

空気（屈折率 $1$）中に、屈折率 $n=1.5$ のガラスでできた厚い両凸レンズが置かれている。光は左から右へ進む。第1面（左側の面）の曲率半径は $R_1=+6\text{cm}$、第2面（右側の面）の曲率半径は $R_2=-12\text{cm}$ である。曲率半径の符号は、曲率中心が面の頂点より右側にあるとき正とする。光軸上の頂点間の距離（レンズの厚さ）は $d=3\text{cm}$ である。

第1面の頂点から左へ $30\text{cm}$ の位置に、光軸に垂直な小さな物体を置いた。近軸近似が成り立つものとし、光線を列ベクトル $\left(\begin{array}{c}y\\ n\theta \end{array}\right)$（$y$ は光軸からの高さ、$\theta$ は光軸となす角、$n$ はその場所の屈折率）で表す光線行列（ABCD 行列）の方法を用いる。このとき、レンズによってできる像の位置は、第2面の頂点から右へ何 cm のところか。既約分数で答えよ。

空気（屈折率 $1$）中で、光軸上に薄いレンズを等間隔 $d(d>0)$ で無限に並べたレンズ列（レンズ導波路）を考える。レンズを光軸上の位置 $z=0,d,2d,3d,\dots$ に置き、$z=0$ のレンズから順に $L_0,L_1,L_2,\dots$ とよぶ。$L_0,L_2,L_4,\dots$（偶数番目）は焦点距離 $f$ の凸レンズ、$L_1,L_3,L_5,\dots$（奇数番目）は焦点距離 $-f$ の凹レンズである（$f>0$）。光線は近軸光線とし、光線の状態を光軸からの高さ $y$ と光軸に対する傾き $\theta$ の組 $(y,\theta )$ で表す。レンズは厚さを無視できる理想的な薄いレンズとし、収差は考えない。

$L_0$ の直前（$z=0$ の入射側）で $(y,\theta )$ の状態にあった光線が、16 枚のレンズ $L_0,L_1,\dots ,L_{15}$ を通過して $L_{16}$ の直前（$z=16d$ の入射側）に達したとき、その状態がもとの $(y,\theta )$ と一致したとする。これがどのような $(y,\theta )$ の光線についても成り立つような間隔 $d$ のうち、最小のものを $f$ を用いて表せ。

行列
$$A=\left(\begin{array}{cccc}3& 1& 0& 0\\ -1& 1& 0& 0\\ 0& 0& 2& 0\\ 1& 0& 0& 2\end{array}\right)$$
の最小多項式 ${\phi }_A(x)$（${\phi }_A(A)=O$ を満たす最高次の係数が $1$ の多項式のうち次数が最小のもの）を求めよ。

実数を成分とする 3 次正方行列全体のなす実線形空間を $M_3(\mathbb{R})$ とし、
$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$$
とする。線形写像 $T:M_3(\mathbb{R})\to M_3(\mathbb{R})$ を $T(X)=AX-XA$ で定めるとき、像 $\mathrm{Im}T$ の次元を求めよ。

$Y=S^1\vee S^1$ を $2$ つの円周の一点和とし、一点和の点を $v$、$2$ つの円周を $v$ を基点とするループ $a,b$ とみなす。連続写像 $f:Y\to Y$ を、$f(v)=v$ で、ループ $a$ をループ $b$ に、ループ $b$ をループの積 $ab$（$a$ をたどってから $b$ をたどる）に写すものとする。$f$ の写像トーラス
$$M_f=Y\times [0,1]/((y,1)\sim (f(y),0)(y\in Y))$$
を考え、射影 $Y\times [0,1]\to [0,1]$ から誘導される写像 $q:M_f\to S^1=[0,1]/(0\sim 1)$ が定める準同型 $q_{\ast }:{\pi }_1(M_f)\to {\pi }_1(S^1)\cong \mathbb{Z}$ と、還元 $\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ の合成の核を $K$ とする。$K$ に対応する $M_f$ の連結な被覆空間を $\tilde{X}$ とする。

${\pi }_1(\tilde{X})$ のアーベル化 ${\pi }_1(\tilde{X}{)}^{\mathrm{ab}}$ のねじれ部分群（有限位数の元全体）の位数を求めよ。

3 本の紐のブレイド群 $B_3$ の標準生成元を ${\sigma }_1,{\sigma }_2$ とし、${\sigma }_i$ は位置 $i$ の紐が位置 $i+1$ の紐の上を通って位置 $i+1$ へ移る交差、${\sigma }_i^{-1}$ は位置 $i+1$ の紐が位置 $i$ の紐の上を通って位置 $i$ へ移る交差とする。ブレイドの語は左から右へ順に読む。結び目 $K$ を
$$\beta =({\sigma }_1{\sigma }_2^{-1}{)}^4\in B_3$$
の閉包 $\hat{\beta }$ とする（$K$ は Rolfsen の表の $8_{18}$ である）。

2 以上の整数 $n$ に対し、$K$ の図式のフォックス $n$ 彩色とは、図式の各弧に $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ の元（色）を割り当てる方法であって、各交点で上を通る弧の色を $a$、下を通る 2 本の弧の色を $b,c$ とするとき $2a\equiv b+c(\mathrm{mod}n)$ を満たすものをいう（すべての弧が同じ色の彩色も含める）。フォックス $n$ 彩色の個数は図式の取り方によらない。

$K$ の閉ブレイド図式 $\hat{\beta }$ のフォックス $15$ 彩色の個数を求めよ。

$2$ つの危険資産 $C_1,C_2$ と安全資産がある。危険資産の $1$ 期間の収益率をそれぞれ確率変数 $R_1,R_2$ とし、
$$E[R_1]=0.08,E[R_2]=0.12,\mathrm{Var}(R_1)=0.04,\mathrm{Var}(R_2)=0.09,\mathrm{Cov}(R_1,R_2)=0.012$$
とする。安全資産の $1$ 期間の収益率は確定値 $r_f=0.04$ である。

危険資産だけからなるポートフォリオで、$C_1,C_2$ への投資比率を $w_1,w_2$（$w_1+w_2=1$、$w_1,w_2$ は実数で、空売りも許す）とし、その収益率を $R_p=w_1{R}_1+w_2{R}_2$ とする。$E[R_p]>r_f$ を満たすもののうち、シャープ比
$$\frac{E[R_p]-r_f}{\sqrt{\mathrm{Var}(R_p)}}$$
を最大にするポートフォリオ（接点ポートフォリオ）の投資比率 $w_1,w_2$ を、組 $(w_1,w_2)$ の形でこの順に求めよ。