最適化・線形計画法の問題

5 個のデータ点
$$(x_i,y_i)=(0,1),(1,2),(2,2),(3,4),(4,5)(i=1,2,3,4,5)$$
に、実数 $a,b$ を係数とする直線 $y=a+bx$ を当てはめる。残差の二乗和
$$S(a,b)=\sum _{i=1}^5{\left(y_i-a-b{x}_i\right)}^2$$
を最小にする $(a,b)$ を、正規方程式 $A^{\mathsf{T}}A\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)=A^{\mathsf{T}}\mathbf{y}$（$A$ は第 $i$ 行が $(1,x_i)$ の $5\times 2$ 行列、$\mathbf{y}=(y_1,\dots ,y_5{)}^{\mathsf{T}}$）を解いて求め、組 $(a,b)$ の形で答えよ。

次の $5$ 個のデータ $(t_i,y_i)$ $(i=1,2,\dots ,5)$ が与えられている。
$$(t_i,y_i)=(-2,6),(-1,1),(0,0),(1,2),(2,7)$$
このデータに $2$ 次関数のモデル $y=a+bt+c{t}^2$ （$a,b,c$ は実数）を当てはめる。残差の二乗和
$$S(a,b,c)=\sum _{i=1}^5{\left(y_i-a-b{t}_i-c{t}_i^2\right)}^2$$
を最小にする $a,b,c$ を最小二乗法で求めたとき、$S(a,b,c)$ の最小値を求めよ。

$xy$ 平面上の 5 点で、ある量 $z$ を測定したところ、次のデータ $(x_i,y_i,z_i)$ $(i=1,2,3,4,5)$ を得た。
$$(0,0,1),(1,0,2),(0,1,4),(1,1,4),(2,1,7)$$
このデータに、実数 $a,b,c$ を係数とする平面のモデル $z=a+bx+cy$ を当てはめる。残差の二乗和
$$S(a,b,c)=\sum _{i=1}^5{\left(z_i-a-b{x}_i-c{y}_i\right)}^2$$
を $a,b,c$ が実数全体を動くときに考える。$S(a,b,c)$ の最小値を求めよ。

4 個のデータ点
$$(x_i,y_i)=(0,1),(1,2),(2,1),(3,5)(i=1,2,3,4)$$
に直線 $y=a+bx$ を当てはめる。残差 $r_i=y_i-(a+b{x}_i)$ の絶対値の最大値 ${\max }_i|r_i|$ を最小にしたい。これは、実数 $a,b,t$ を変数とする次の線形計画問題として書ける。
$$\begin{array}{rl}\text{minimize}& t\\ \text{subject to}& -t\le y_i-(a+b{x}_i)\le t(i=1,2,3,4)\end{array}$$
この線形計画問題の最適解はただ 1 つである。その最適解 $(a,b,t)$ を求めよ。

4 個のデータ点
$$(x_i,y_i)=(0,0),(1,4),(3,2),(4,6)(i=1,2,3,4)$$
に、直線 $y=a+bx$ を当てはめる。ここでは、残差の絶対値 $|y_i-a-b{x}_i|$ の最大値を最小にする直線を考える（チェビシェフ近似）。この問題は、実数 $a,b,t$ を変数とする次の線形計画問題 $(\mathrm{P})$ として書ける。
$$(\mathrm{P})\begin{array}{rl}\text{minimize}& t\\ \text{subject to}& -t\le y_i-a-b{x}_i\le t(i=1,2,3,4)\end{array}$$
$(\mathrm{P})$ の最適解はただ一つに定まる。その最適解 $(a,b,t)$ を、この順の組で求めよ。