この問題は、利用者からの報告を受けて確認中です。答えや解説に誤りがあるかもしれません。

最適化・線形計画法の問題

難易度 2教科書の演習問題レベル大学数学最適化・線形計画法

次の $5$ 個のデータ $(t_{i}, y_{i})$ $(i = 1, 2, \dots, 5)$ が与えられている。
$(t_{i}, y_{i}) = (- 2, 6), (- 1, 1), (0, 0), (1, 2), (2, 7)$
このデータに $2$ 次関数のモデル $y = a + b t + c t^{2}$ （ $a, b, c$ は実数）を当てはめる。残差の二乗和
$S (a, b, c) = i = 1 \sum 5 (y_{i} - a - b t_{i} - c t_{i}^{2})^{2}$
を最小にする $a, b, c$ を最小二乗法で求めたとき、 $S (a, b, c)$ の最小値を求めよ。

この問題で使うもの

偏微分と全微分（説明と入口の問題）
等差・等比数列の和と Σ（説明と入口の問題）
掃き出し法と連立 1 次方程式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（38 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

$S$ を $a, b, c$ でそれぞれ偏微分して $0$ とおき、正規方程式 $A^{T} A x = A^{T} y$ を立てよう。

ヒント 2

$t_{i}$ が $0$ に関して対称なので $\sum t_{i} = \sum t_{i}^{3} = 0$ となり、正規方程式は $5 a + 10 c = 16, 10 b = 3, 10 a + 34 c = 55$ と簡単になる。

ヒント 3

正規方程式を解くと $a = - \frac{3}{35}, b = \frac{3}{10}, c = \frac{23}{14}$ 。各データ点での残差 $y_{i} - (a + b t_{i} + c t_{i}^{2})$ を計算し、その二乗和を求めよう。

答えと解説

答えを見る

\frac{4}{35}

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

$S$ は $a, b, c$ の凸な $2$ 次関数なので、偏導関数がすべて $0$ になる点（正規方程式の解）で最小になる。

必要な和の計算
$\sum t_{i} = 0, \sum t_{i}^{2} = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10, \sum t_{i}^{3} = 0, \sum t_{i}^{4} = 16 + 1 + 0 + 1 + 16 = 34$
$\sum y_{i} = 6 + 1 + 0 + 2 + 7 = 16, \sum t_{i} y_{i} = - 12 - 1 + 0 + 2 + 14 = 3,$
$\sum t_{i}^{2} y_{i} = 24 + 1 + 0 + 2 + 28 = 55, \sum y_{i}^{2} = 36 + 1 + 0 + 4 + 49 = 90$

正規方程式
$\frac{\partial S}{\partial a} = \frac{\partial S}{\partial b} = \frac{\partial S}{\partial c} = 0$ より
$⎩ ⎨ ⎧ 5 a + (\sum t_{i}) b + (\sum t_{i}^{2}) c = \sum y_{i} (\sum t_{i}) a + (\sum t_{i}^{2}) b + (\sum t_{i}^{3}) c = \sum t_{i} y_{i} (\sum t_{i}^{2}) a + (\sum t_{i}^{3}) b + (\sum t_{i}^{4}) c = \sum t_{i}^{2} y_{i}$
すなわち
$5 a + 10 c = 16 (1), 10 b = 3 (2), 10 a + 34 c = 55 (3)$
$(2)$ より $b = \frac{3}{10}$ 。 $(3) - 2 \times (1)$ より $14 c = 23$ 、よって $c = \frac{23}{14}$ 。 $(1)$ に代入して $5 a = 16 - \frac{115}{7} = - \frac{3}{7}$ 、よって $a = - \frac{3}{35}$ 。

残差の計算
分母を $70$ にそろえると $a = - \frac{6}{70}, b = \frac{21}{70}, c = \frac{115}{70}$ 。当てはめ値 $y^_{i} = a + b t_{i} + c t_{i}^{2}$ と残差 $r_{i} = y_{i} - y^_{i}$ は
- $t = - 2$ : $y^= \frac{- 6 - 42 + 460}{70} = \frac{412}{70}$ , $r = \frac{420 - 412}{70} = \frac{8}{70}$
- $t = - 1$ : $y^= \frac{- 6 - 21 + 115}{70} = \frac{88}{70}$ , $r = \frac{70 - 88}{70} = - \frac{18}{70}$
- $t = 0$ : $y^= - \frac{6}{70}$ , $r = \frac{6}{70}$
- $t = 1$ : $y^= \frac{- 6 + 21 + 115}{70} = \frac{130}{70}$ , $r = \frac{140 - 130}{70} = \frac{10}{70}$
- $t = 2$ : $y^= \frac{- 6 + 42 + 460}{70} = \frac{496}{70}$ , $r = \frac{490 - 496}{70} = - \frac{6}{70}$

したがって
$S_{m i n} = \frac{8 ^{2} + 1 8 ^{2} + 6 ^{2} + 1 0 ^{2} + 6 ^{2}}{7 0 ^{2}} = \frac{560}{4900} = \frac{4}{35}$

（検算：正規方程式の解では $S_{m i n} = \sum y_{i}^{2} - (a \sum y_{i} + b \sum t_{i} y_{i} + c \sum t_{i}^{2} y_{i}) = 90 - (- \frac{48}{35} + \frac{9}{10} + \frac{1265}{14}) = 90 - \frac{6292}{70} = \frac{8}{70} = \frac{4}{35}$ となり一致する。）

別解

$t$ の和を調べると $\sum t = 0, \sum t^{2} = 10, \sum t^{3} = 0, \sum t^{4} = 34$ である。また $\sum y = 16, \sum t y = 3, \sum t^{2} y = 55, \sum y^{2} = 90$ である。

正規方程式は次のとおり。
$5 a + 10 c = 16$ , $10 b = 3$ , $10 a + 34 c = 55$

これを解くと $b = \frac{3}{10}$ 、 $c = \frac{23}{14}$ 、 $a = - \frac{3}{35}$ となる。

最小値は $S_{m i n} = \sum y^{2} - (a \sum y + b \sum t y + c \sum t^{2} y)$ で求まる。
括弧の中は $- \frac{48}{35} + \frac{9}{10} + \frac{1265}{14} = \frac{6292}{70} = \frac{3146}{35}$ である。
よって $S_{m i n} = 90 - \frac{3146}{35} = \frac{4}{35}$ 。

検算として残差 $y_{i} - y^_{i}$ を $\frac{1}{70}$ 単位で計算すると、 $8, - 18, 6, 10, - 6$ となる。二乗和は $\frac{64 + 324 + 36 + 100 + 36}{4900} = \frac{560}{4900} = \frac{4}{35}$ で一致する。

最適化・線形計画法の問題

この問題で使うもの

ヒント

答えと解説

次のおすすめ

この問題の確認

間違いを報告する

関連する問題