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最適化・線形計画法の問題

難易度 2教科書の演習問題レベル大学数学最適化・線形計画法

5 個のデータ点
$(x_{i}, y_{i}) = (0, 1), (1, 2), (2, 2), (3, 4), (4, 5) (i = 1, 2, 3, 4, 5)$
に、実数 $a, b$ を係数とする直線 $y = a + b x$ を当てはめる。残差の二乗和
$S (a, b) = i = 1 \sum 5 (y_{i} - a - b x_{i})^{2}$
を最小にする $(a, b)$ を、正規方程式 $A^{T} A (a b) = A^{T} y$ （ $A$ は第 $i$ 行が $(1, x_{i})$ の $5 \times 2$ 行列、 $y = (y_{1}, \dots, y_{5})^{T}$ ）を解いて求め、組 $(a, b)$ の形で答えよ。

この問題で使うもの

行列の和・積と 2 次の逆行列（説明と入口の問題）
掃き出し法と連立 1 次方程式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（27 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$S (a, b)$ を最小にする $(a, b)$ は、正規方程式 $A^{T} A (a, b)^{T} = A^{T} y$ の解である。まず $A^{T} A$ と $A^{T} y$ の成分を和の形で書いてみよう。

ヒント 2

$A^{T} A = (n \sum x_{i} \sum x_{i} \sum x_{i}^{2})$ 、 $A^{T} y = (\sum y_{i} \sum x_{i} y_{i})$ となる。

ヒント 3

$\sum x_{i} = 10, \sum x_{i}^{2} = 30, \sum y_{i} = 14, \sum x_{i} y_{i} = 38$ より、連立方程式 $5 a + 10 b = 14, 10 a + 30 b = 38$ を解けばよい。

答えと解説

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(\frac{4}{5}, 1)

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解説を読む

$A = 1111101234, y = 12245$
とおくと、 $S (a, b) = y - A (a b)^{2}$ である。 $A$ の 2 つの列は一次独立なので $A^{T} A$ は正則であり、 $S$ を最小にする $(a, b)$ は正規方程式のただ 1 つの解として決まる。

必要な和を計算する.
$\sum x_{i} = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10, \sum x_{i}^{2} = 0 + 1 + 4 + 9 + 16 = 30,$
$\sum y_{i} = 1 + 2 + 2 + 4 + 5 = 14, \sum x_{i} y_{i} = 0 + 2 + 4 + 12 + 20 = 38.$
よって
$A^{T} A = (5101030), A^{T} y = (1438) .$

正規方程式を解く.
$5 a + 10 b = 14, 10 a + 30 b = 38.$
1 つ目の式を 2 倍すると $10 a + 20 b = 28$ 。これを 2 つ目の式から引いて $10 b = 10$ 、すなわち $b = 1$ 。1 つ目の式に代入して $5 a = 14 - 10 = 4$ 、 $a = \frac{4}{5}$ 。

（確認: 当てはめた値は $0.8, 1.8, 2.8, 3.8, 4.8$ 、残差は $0.2, 0.2, - 0.8, 0.2, 0.2$ で、残差の和 $0$ と、残差と $x_{i}$ の積の和 $0 + 0.2 - 1.6 + 0.6 + 0.8 = 0$ がともに成り立ち、正規方程式と一致する。）

答えは $(\frac{4}{5}, 1)$ 。

別解

データから $n = 5$ , $\sum x_{i} = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10$ , $\sum x_{i}^{2} = 0 + 1 + 4 + 9 + 16 = 30$ , $\sum y_{i} = 1 + 2 + 2 + 4 + 5 = 14$ , $\sum x_{i} y_{i} = 0 + 2 + 4 + 12 + 20 = 38$ 。

$A^{T} A = (5101030)$ , $A^{T} y = (1438)$ 。

正規方程式: $5 a + 10 b = 14$ , $10 a + 30 b = 38$ 。
1 本目を 2 倍して $10 a + 20 b = 28$ 。2 本目から引くと $10 b = 10$ より $b = 1$ 。 $5 a = 14 - 10 = 4$ より $a = \frac{4}{5}$ 。
( $det A^{T} A = 150 - 100 = 50 \neq = 0$ なので解は一意。)

検算: 直線 $y = \frac{4}{5} + x$ の値は $0.8, 1.8, 2.8, 3.8, 4.8$ 、残差は $0.2, 0.2, - 0.8, 0.2, 0.2$ 。残差の和は $0$ 、 $\sum x_{i} \cdot$ 残差 $= 0 + 0.2 - 1.6 + 0.6 + 0.8 = 0$ で、残差が $A$ の列と直交している。

答え: $(a, b) = (\frac{4}{5}, 1)$ 。

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