偏微分と全微分

SI 単位系で、ある領域の電磁場が、スカラーポテンシャル $\varphi$ とベクトルポテンシャル $\mathbf{A}$ によって
$$\varphi (x,y,z,t)=\kappa x^{2}t,\mathbf{A}(x,y,z,t)=\left(\alpha x{t}^2,0,0\right)$$
と表されている。ここで $\kappa ,\alpha$ は実定数である。電場と磁場は $\mathbf{E}=-\nabla \varphi -\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}$、$\mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A}$ で与えられるものとする。

点 $(x,y,z)$、時刻 $t$ における電場の $x$ 成分 $E_x$ を、$\kappa ,\alpha ,x,t$ を用いて求めよ。

$x,y$ を実数とし、2 変数関数
$$f(x,y)=x^3{y}^2-4xy+y^3$$
を考える。点 $(1,2)$ における偏微分係数 $f_x(1,2)$ と $f_y(1,2)$ を求め、組 $(f_x(1,2),f_y(1,2))$ の形で答えよ。

2 変数関数
$$f(x,y)=x^3{y}^2+2xy-y^3(x,y\text{は実数})$$
について、点 $(1,2)$ における偏微分係数 $f_x(1,2)$ と $f_y(1,2)$ を求め、$(f_x(1,2),f_y(1,2))$ の組で答えよ。

2 変数関数
$$f(x,y)=x^3{y}^2-4xy+y^3(x,y\text{は実数})$$
について、点 $(1,2)$ における偏微分係数 $f_x(1,2)$ と $f_y(1,2)$ を、この順に組 $(f_x(1,2),f_y(1,2))$ の形で求めよ。

関数 $z=x^{2}y$ において、$x$ と $y$ が実数 $t$ の関数として
$$x=t+1,y=t^2$$
で与えられているとする。多変数の連鎖律を用いて、$t=1$ における $\frac{dz}{dt}$ の値を求めよ。

実数 $x,y$ の関数 $z=x^{2}y$ を考える。実数 $t$ について $x=t^2+1,y=t^3$ とおくと、$z$ は $t$ の関数になる。このとき、$t=1$ における $\frac{dz}{dt}$ の値を求めよ。

関数 $z=x^{2}y$ において、$x=2t+1,y=t^2$ とする（$t$ は実数）。多変数の連鎖律を用いて、$t=1$ における $\frac{dz}{dt}$ の値を求めよ。

2 変数関数
$$f(x,y)=x^2+2x+y^3-12y(x,y\text{は実数})$$
を考える。$f$ の停留点（$f_x=f_y=0$ となる点）はちょうど 2 つあり、そのうち 1 つでは $f$ は極値をとらない（鞍点である）。この極値をとらない停留点の座標 $(x,y)$ を求めよ。

2 変数関数
$$f(x,y)=3x-x^3-y^2+4y(x,y\text{は実数})$$
はただ 1 つの点で極大となる。その極大値を求めよ。

2 変数関数
$$f(x,y)=x^3-3x+y^2-4y(x,y\text{は実数})$$
は、ただ 1 つの点で極値をとる。その点の座標 $(x,y)$ を求めよ。

実数 $x,y$ が条件 $$x^2+y^2=20$$ を満たしながら動くとき、関数 $f(x,y)=x+2y$ の最大値と最小値をこの順に求めよ。

実数全体で定義された微分可能な関数 $y(x)$ が、微分方程式
$$(2xy+e^x)+(x^2+1)y^{\prime }=0$$
と初期条件 $y(0)=2$ を満たすとする。$y(x)$ を求めよ。

実数全体で定義された $2$ 変数関数 $u(x,t)$ に対する偏微分方程式
$$u_t=2u_{xx}(x\in \mathbb{R},t>0)$$
と初期条件
$$u(x,0)=x^3(x\in \mathbb{R})$$
を考える。ここで $u_t=\frac{\partial u}{\partial t}$, $u_{xx}=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}$ である。$k$ を実数の定数として、関数
$$u(x,t)=x^3+kxt$$
がこの偏微分方程式と初期条件をともに満たすような $k$ の値を求めよ。

$A,k$ を実数の定数とし、実数 $x$ と $t\geqq 0$ に対して
$$u(x,t)=A{e}^{-kt}\sin 3x$$
とおく。この関数 $u$ が、熱方程式（2 階線形偏微分方程式）
$$u_t=2u_{xx}$$
と初期条件
$$u(x,0)=5\sin 3x(x\text{ は任意の実数})$$
をともに満たすとき、$A,k$ の値を組 $(A,k)$ の形でこの順に求めよ。

$A,k$ を実数の定数とし、
$$u(x,t)=A{e}^{kt}\sin 2x$$
とおく。この関数が次の熱方程式の初期値・境界値問題の解になるとき、組 $(A,k)$ を求めよ。
$$u_t=3u_{xx}(0<x<\pi ,t>0),$$
$$u(0,t)=u(\pi ,t)=0(t\ge 0),u(x,0)=5\sin 2x(0\le x\le \pi ).$$

2 変数関数
$$f(x,y)=x^3-6xy+3y^2+1(x,y\text{は実数})$$
はただ 1 つの点で極小となる。その極小値を求めよ。

区間 $0\leqq x\leqq 1$ で定義された実数値の微分可能な関数 $y(x)$ が、微分方程式
$$(2xy+3x^2)+(x^2+2y)y^{\prime }=0$$
と条件 $y(1)=1$ をみたすとする。$y(0)$ の値を求めよ。

${\mathbb{R}}^2$ の座標を $(x,y)$ とし、リーマン計量
$$g=(1+x^2+y^2)(d{x}^2+d{y}^2)$$
を考える。$({\mathbb{R}}^2,g)$ のガウス曲率（断面曲率）を $K$ とするとき、点 $(1,1)$ における $K$ の値を求めよ。ただし、単位球面のガウス曲率が $1$ となる符号の規約を用いる。

${\mathbb{R}}^3$ の上半空間を ${\mathbb{R}}_{+}^3=\{y=(y_1,y_2,y_3)\in {\mathbb{R}}^3\mid y_3>0\}$ とし、$-\Delta$ の基本解を
$$\Phi (z)=\frac{1}{4\pi |z|}(z\in {\mathbb{R}}^3,z\ne 0)$$
とする（$|\cdot |$ はユークリッドノルム）。$x=(x_1,x_2,x_3)\in {\mathbb{R}}_{+}^3$ に対し $x^{\ast }=(x_1,x_2,-x_3)$ とおき、鏡像法による ${\mathbb{R}}_{+}^3$ のディリクレ問題のグリーン関数を
$$G(x,y)=\Phi (y-x)-\Phi (y-x^{\ast })(x,y\in \overline{{\mathbb{R}}_{+}^3},x\ne y)$$
で定める。さらに $y^{\prime }=(y_1,y_2)\in {\mathbb{R}}^2$ に対し
$$K(x,y^{\prime })=\frac{\partial G}{\partial y_3}(x,y){|}_{y=(y_1,y_2,0)}$$
とおく。$x_0=(0,0,1)$ のとき、積分
$${\int }_{\{y^{\prime }\in {\mathbb{R}}^2:|y^{\prime }|<1\}}K(x_0,y^{\prime })d{y}^{\prime }$$
の値を求めよ。

$xyz$ 空間のスカラー場 $f$ とベクトル場 $\mathbf{G}$ を
$$f(x,y,z)=x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x,\mathbf{G}(x,y,z)=(yz,zx,xy)$$
で定める。ベクトル場 $f\mathbf{G}$ について、点 $(1,2,-1)$ における発散 $\mathrm{div}(f\mathbf{G})$ の値と、回転 $\mathrm{rot}(f\mathbf{G})$ の $z$ 成分の値を、この順に組で求めよ。

$xy$ 平面上で、放物線 $y=x^2$ と直線 $y=2x$ で囲まれた有界な領域を $D$ とし、$D$ の境界を正の向き（反時計回り、$D$ を左側に見て進む向き）に 1 周する閉曲線を $C$ とする。線積分
$$I={\oint }_C\left(\sin x-x^{2}y\right)dx+\left(x{y}^2+e^y\right)dy$$
の値を求めよ。

実数 $x,y$ についての次の連立一次方程式を考える。
$$\{\begin{array}{l}x+y=1\\ x-y=2\\ 2x+y=4\end{array}$$
この連立方程式は解をもたない。そこで、各式の左辺と右辺の差の二乗和
$$S(x,y)=(x+y-1{)}^2+(x-y-2{)}^2+(2x+y-4{)}^2$$
を最小にする実数の組 $(x,y)$（最小二乗解）を考える。$S(x,y)$ を最小にする $(x,y)$ を求めよ。

$a$ を実数の定数とし、${\mathbb{R}}^2$ 上の関数
$$f(x,y)=e^x+a{x}^2+4xy+2y^2$$
を考える。$f$ が ${\mathbb{R}}^2$ 全体で凸関数となるような $a$ の最小値を求めよ。

実数 $x,y$ についての次の連立一次方程式を考える。
$$\{\begin{array}{l}x+y=2\\ x-y=0\\ 2x+y=5\end{array}$$
この連立方程式は解をもたない。そこで、残差の二乗和
$$S(x,y)=(x+y-2{)}^2+(x-y{)}^2+(2x+y-5{)}^2$$
を最小にする実数の組 $(x,y)$（最小二乗解）を考える。この組 $(x,y)$ をこの順に求めよ。

${\mathbb{R}}^2$ 上の関数
$$f(x,y)=5x^2+4xy+2y^2-3x+y$$
を考える。実数 $m$ に対して $g_m(x,y)=f(x,y)-\frac{m}{2}(x^2+y^2)$ が ${\mathbb{R}}^2$ 上で凸関数となるような $m$ の最大値を $m_0$、実数 $L$ に対して $h_L(x,y)=\frac{L}{2}(x^2+y^2)-f(x,y)$ が ${\mathbb{R}}^2$ 上で凸関数となるような $L$ の最小値を $L_0$ とする。$(m_0,L_0)$ をこの順に求めよ。

一様なプラズマの中に、点電荷 $q$（$q>0$）の試験電荷を原点に置く。プラズマの電荷が再配置して試験電荷が遮蔽された結果、原点からの距離 $r$（$r>0$）での静電ポテンシャルは、デバイ長 ${\lambda }_D$ を用いて
$$\varphi (r)=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_{0}r}\exp \left(-\frac{r}{{\lambda }_D}\right)$$
で与えられるとする（${\epsilon }_0$ は真空の誘電率、SI 単位系）。

原点を中心とする半径 ${\lambda }_D$ の球の内部にあるプラズマの遮蔽電荷（試験電荷 $q$ を除いた、プラズマが再配置してできた電荷の総和）を $Q_{\mathrm{s}}$ とする。比 $\frac{Q_{\mathrm{s}}}{q}$ を正確な値で求めよ。

実数 $x,y$ に対して
$$f(x,y)=x^3+3x{y}^2-15x-12y$$
と定める。$f$ が ${\mathbb{R}}^2$ 上で極値をとる点は $(2,1)$ と $(-2,-1)$ の 2 点だけであり、$(2,1)$ で極小値 $-28$、$(-2,-1)$ で極大値 $28$ をとることを証明せよ。ただし、次の事実は用いてよい。
- ${\mathbb{R}}^2$ 上の $C^1$ 級関数が点 $P$ で極値をとるならば、$P$ で 2 つの偏導関数はともに $0$ になる。
- （2 階導関数による判定）$C^2$ 級関数 $f$ の点 $P$ で $f_x=f_y=0$ とし、$H=f_{xx}{f}_{yy}-(f_{xy}{)}^2$ を $P$ で考える。$H>0$ かつ $f_{xx}>0$ なら $P$ で極小、$H>0$ かつ $f_{xx}<0$ なら $P$ で極大、$H<0$ なら $P$ で極値をとらない。

$U$ を ${\mathbb{R}}^3$ の開集合とし、$f,g$ を $U$ 上の $C^2$ 級の実数値関数とする。座標を $(x,y,z)$ とし、ベクトル場 $\mathbf{A}=(A_1,A_2,A_3)$ の発散と回転を
$$\nabla \cdot \mathbf{A}=\frac{\partial A_1}{\partial x}+\frac{\partial A_2}{\partial y}+\frac{\partial A_3}{\partial z},\nabla \times \mathbf{A}=\left(\frac{\partial A_3}{\partial y}-\frac{\partial A_2}{\partial z},\frac{\partial A_1}{\partial z}-\frac{\partial A_3}{\partial x},\frac{\partial A_2}{\partial x}-\frac{\partial A_1}{\partial y}\right)$$
で定める。このとき、$U$ 上で
$$\nabla \cdot (\nabla f\times \nabla g)=0$$
が成り立つことを証明せよ。ただし、$C^2$ 級関数の 2 階偏導関数は微分の順序によらない（シュワルツの定理）ことは用いてよい。

関数 $f:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ を
$$f(x,y)=x^2-2xy+3y^2+e^{x+y}$$
で定める。$f$ が ${\mathbb{R}}^2$ 上で狭義凸関数であることを証明せよ。

ここで $f$ が狭義凸関数であるとは、相異なる任意の 2 点 $\mathbf{p},\mathbf{q}\in {\mathbb{R}}^2$ と $0<\lambda <1$ を満たす任意の実数 $\lambda$ に対して
$$f(\lambda \mathbf{p}+(1-\lambda )\mathbf{q})<\lambda f(\mathbf{p})+(1-\lambda )f(\mathbf{q})$$
が成り立つことをいう。

なお、次の事実は用いてよい: 「${\mathbb{R}}^2$ 上の $C^2$ 級関数 $g$ のヘッセ行列 ${\nabla }^{2}g(x,y)$ が、すべての $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$ で正定値ならば、$g$ は ${\mathbb{R}}^2$ 上で狭義凸関数である。」

正の定数 $a,b,c,d$ に対し、ロトカ・ヴォルテラ方程式
$$x^{\prime }(t)=x(t)(a-by(t)),y^{\prime }(t)=y(t)(-c+dx(t))$$
を考える。$D=\{(x,y)\mid x>0,y>0\}$ とし、$D$ 上の関数
$$V(x,y)=dx-c\log x+by-a\log y$$
を定める。また $p=\frac{c}{d},q=\frac{a}{b}$ とおく。

区間 $J$ 上で定義された微分可能な解 $(x(t),y(t))$ で、すべての $t\in J$ について $(x(t),y(t))\in D$ を満たすものを考える。このとき、$V(x(t),y(t))$ は $t\in J$ によらず一定であり、さらに $D$ 上で $V(x,y)\ge V(p,q)$ が成り立ち、等号は $(x,y)=(p,q)$ のときに限ることを証明せよ。

$u$ を ${\mathbb{R}}^2$ 上の実数値 $C^1$ 級関数とし、
$$x{u}_x(x,y)+y{u}_y(x,y)=u(x,y)((x,y)\in {\mathbb{R}}^2)$$
をみたすとする。このとき、$a=u_x(0,0)$, $b=u_y(0,0)$ とおくと、すべての $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$ について
$$u(x,y)=ax+by$$
が成り立つことを示せ。

$z=x+iy$（$x,y$ は実数）とし、複素関数 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ を
$$u(x,y)=x^2+2xy+3y^2+4x,v(x,y)=4xy-2y^2+6x+2y$$
で定める。$f$ が複素微分可能となる点はただ 1 つ存在する。その点を $z_0$ とするとき、微分係数 $f^{\prime }(z_0)$ の値を求めよ。

区間 $1\le x\le 2$ で定義された微分可能な関数 $y(x)$ が、つねに $x+2y(x)>0$ を満たし、微分方程式
$$(2xy+y^2+1)+(x^2+2xy)y^{\prime }=0$$
と初期条件 $y(1)=1$ を満たすとする。$y(2)$ の値を求めよ。

座標空間において、曲面
$$z=\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}+\sqrt{3}y$$
のうち、三角形の領域 $D=\{(x,y)\mid 0\le y\le x\le 5\}$ の上にある部分の曲面積 $S$ を求めよ。

実数 $x,y$ が条件 $$x^2+2y^2=6$$ を満たしながら動くとき、関数 $f(x,y)=x^{2}y$ の最大値と最小値をこの順に求めよ。

次の $5$ 個のデータ $(t_i,y_i)$ $(i=1,2,\dots ,5)$ が与えられている。
$$(t_i,y_i)=(-2,6),(-1,1),(0,0),(1,2),(2,7)$$
このデータに $2$ 次関数のモデル $y=a+bt+c{t}^2$ （$a,b,c$ は実数）を当てはめる。残差の二乗和
$$S(a,b,c)=\sum _{i=1}^5{\left(y_i-a-b{t}_i-c{t}_i^2\right)}^2$$
を最小にする $a,b,c$ を最小二乗法で求めたとき、$S(a,b,c)$ の最小値を求めよ。

$xy$ 平面内を運動する質量 $m$ の質点のハミルトニアンが、正準座標 $(x,y)$ と共役な正準運動量 $(p_x,p_y)$ を用いて
$$H=\frac{p_x^2+p_y^2}{2m}+\frac{k}{2}\left(x^2+4y^2\right)(m>0,k>0)$$
で与えられる（$x$ 方向と $y$ 方向の角振動数の比が $1:2$ の非等方調和振動子）。ポアソン括弧を
$$\{f,g\}=\sum _{q=x,y}\left(\frac{\partial f}{\partial q}\frac{\partial g}{\partial p_q}-\frac{\partial f}{\partial p_q}\frac{\partial g}{\partial q}\right)$$
で定義する。$\beta ,\gamma$ を定数（$x,y,p_x,p_y,t$ によらない実数）として、相空間上の関数
$$G=x{p}_x{p}_y+\beta y{p}_x^2+\gamma x^{2}y$$
を考える。$G$ が任意の運動について保存量となる（すなわち $\{G,H\}=0$ が相空間のすべての点で成り立つ）ような $\beta ,\gamma$ を、$m,k$ を用いて表し、組 $(\beta ,\gamma )$ の形で答えよ。

$n$ mol の実在気体があり、その状態方程式が第 2 ビリアル係数までの式
$$P=\frac{nRT}{V}\left(1+\frac{nB(T)}{V}\right),B(T)=b-\frac{c}{T^2}$$
で表されるとする。ここで $P$ は圧力、$V$ は体積、$T$ は絶対温度、$R$ は気体定数、$b$ と $c$ は正の定数である。

この気体の温度を $T$ に保ったまま、体積を $V_0$ から $2V_0$ まで変化させた。このときの気体の内部エネルギーの変化 $\Delta U$ を、$n,R,c,T,V_0$ を用いて表せ。

ただし、考える状態の範囲で上の状態方程式が成り立つものとする。

${\mathbb{R}}^3$ 内の曲面
$$S=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3\mid z=x{y}^2\}$$
に ${\mathbb{R}}^3$ の標準内積から誘導される計量を入れる。$S$ 上の点 $P=(1,1,1)$ における $S$ の主曲率を ${\kappa }_1,{\kappa }_2$ とするとき、$|{\kappa }_1-{\kappa }_2|$ の値を求めよ。

1 mol の気体が状態方程式
$$P(V-b)=RT$$
に従う。ここで $P$ は圧力、$V$ はモル体積、$T$ は絶対温度、$R$ は気体定数、$b$ は正の定数である。この気体の定積モル比熱 $C_V$ は、考える温度・体積の範囲で正の定数であるとする。

この気体のジュール・トムソン係数
$${\mu }_{JT}={\left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)}_H$$
（$H$ はモルエンタルピー）を、$b,C_V,R$ を用いて表せ。

鉛直面内に固定された、なめらかで細い針金がある。水平右向きに $x$ 軸、鉛直上向きに $y$ 軸をとると、針金の形は
$$y=\frac{x^2}{2a}(a>0\text{は定数})$$
で表される。この針金に通した質量 $m$ の小さな玉を、$x=x_0(x_0>0)$ の位置で静かにはなした。

玉が最下点 $x=0$ を通過する瞬間に、針金が玉に及ぼす力（束縛力）の大きさを、$m,g,a,x_0$ を用いて表せ。ただし、重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗は無視する。束縛力は、拘束条件 $f(x,y)=y-\frac{x^2}{2a}=0$ とラグランジュの未定乗数 $\lambda$ を用いた運動方程式から求めること。

1 mol の気体がファンデルワールスの状態方程式
$$\left(P+\frac{a}{V^2}\right)(V-b)=RT$$
に従う。ここで $P$ は圧力、$V$ はモル体積、$T$ は絶対温度、$R$ は気体定数、$a$, $b$ は正の定数である。この気体の定積モル比熱 $C_V$ は、考える温度・体積の範囲で一定の正の定数とする。

断熱材でできた容器が仕切りで 2 つの部屋に分けられており、一方の部屋（体積 $V_0$、$V_0>b$）にこの気体 1 mol が入っていて、もう一方の部屋（体積 $V_0$）は真空である。仕切りを取り除くと、気体は容器全体（体積 $2V_0$）に広がり、やがて熱平衡に達した（自由膨張）。

はじめの温度を $T_{\mathrm{i}}$、熱平衡に達したあとの温度を $T_{\mathrm{f}}$ とするとき、$T_{\mathrm{f}}-T_{\mathrm{i}}$ を $a$, $C_V$, $V_0$ を用いて求めよ。容器の熱容量は無視する。

$a$ を実数の定数とし、${\mathbb{R}}^3$ 上の関数
$$f(x,y,z)=x^4+x^2+2y^2+3z^2+2axy+2yz$$
を考える。$f$ が ${\mathbb{R}}^3$ 上で凸関数となるような $a$ の最大値を求めよ。

$xyz$ 空間の円錐面の一部
$$S=\left\{(x,y,z)|z=\sqrt{x^2+y^2},0\le z\le 2\right\}$$
を考える（$S$ は側面だけで、上の円板 $z=2,x^2+y^2\le 4$ は含まない）。$S$ の向きを、頂点 $(0,0,0)$ を除く各点で単位法線ベクトル $\mathbf{n}$ の $z$ 成分が正となるように定める（頂点では法線が定まらないが、1 点なので面積分の値には影響しない）。ベクトル場
$$\mathbf{F}(x,y,z)=\left(xz,y,z^2\right)$$
の $S$ を通る流束 $${\iint }_S\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}dS$$ を求めよ。

${\mathbb{R}}^2$ に標準内積 $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ を入れる。凸関数 $f:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ を
$$f(x_1,x_2)=\log \left(1+e^{x_1}+e^{x_2}\right)$$
で定め、その凸共役（ルジャンドル・フェンシェル変換）を
$$f^{\ast }(y)=\underset{x\in {\mathbb{R}}^2}{\sup }\{⟨x,y⟩-f(x)\}(y\in {\mathbb{R}}^2)$$
とする。$f^{\ast }\left(\frac{1}{2},\frac{1}{3}\right)$ の値を求めよ。

$xyz$ 空間のベクトル場
$$\mathbf{F}(x,y,z)=\left(e^y+z\cos x,x{e}^y+2yz,\sin x+y^2\right)$$
と、媒介変数表示された曲線
$$C:\mathbf{r}(t)=\left(\frac{\pi }{2}{t}^3,\log (1+t),2^t\right)(0\le t\le 1)$$
を考える。$C$ には $t$ が増加する向きに向きをつける。線積分
$${\int }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$$
の値を求めよ。

ある販売店では、ある商品の需要が年間 $4500$ 個で、一定の割合で生じる。この商品の在庫管理について、次を仮定する。

• $1$ 回の発注ごとに、発注量によらず $400$ 円の発注費用がかかる。発注した商品は一度に納入され、納入までの時間は $0$ とみなす。
• 在庫 $1$ 個を $1$ 年間保管すると $250$ 円の保管費用がかかる（保管費用は在庫量と時間に比例する）。
• 在庫が $0$ のときに生じた需要は品切れ（受注残）として残し、次の納入時にすべて満たす。受注残 $1$ 個を $1$ 年間残すと $200$ 円の品切れ費用がかかる（品切れ費用は受注残の量と時間に比例する）。
• 毎回の発注量は同じ $Q$ 個であり、毎回、受注残が同じ量 $B$ 個（$0\le B\le Q$）に達した時点で発注・納入して受注残をすべて満たす。

$Q,B$ は正の実数（$B$ は $0$ 以上の実数）として扱い、商品の購入単価は考えない。年間の発注費用・保管費用・品切れ費用の合計を最小にする発注量 $Q$ と、そのときの年間費用の合計（円）を、この順に組で求めよ。

$f,g$ を閉区間 $[0,1]$ 上の実数値連続関数とし、平面の開集合
$$D=\{(x,y)\mid x>0,y>0,x+y<1\}$$
を考える。このとき
$${\iint }_{D}f(x+y)g\left(\frac{x}{x+y}\right)dxdy=\left({\int }_0^{1}tf(t)dt\right)\left({\int }_0^{1}g(s)ds\right)$$
が成り立つことを証明せよ。ただし、次の事実は用いてよい。
- （変数変換公式）$E,F$ を平面の有界な開集合、$\Phi :E\to F$ を $C^1$ 級の全単射で、逆写像も $C^1$ 級であり、ヤコビアン $J_{\Phi }$ が $E$ 上で $0$ にならないものとする。$F$ 上の有界な連続関数 $h$ に対して ${\iint }_{F}h(x,y)dxdy={\iint }_{E}h(\Phi (u,v))|J_{\Phi }(u,v)|dudv$ が成り立つ（両辺の積分は存在する）。
- （累次積分）$(0,1)\times (0,1)$ 上の有界な連続関数 $k(u)l(v)$（$k,l$ は $[0,1]$ 上連続）について ${\iint }_{(0,1{)}^2}k(u)l(v)dudv={\int }_0^{1}k(u)du{\int }_0^{1}l(v)dv$ が成り立つ。

$D={\mathbb{R}}^2\setminus \{(0,0)\}$ とし、$D$ 上のベクトル場 $\mathbf{F}=(P,Q)$ を
$$P(x,y)=\frac{-y}{x^2+y^2},Q(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}$$
で定める。$D$ 上のすべての点で $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$ が成り立つが、$D$ 上の $C^1$ 級関数 $\phi$ で $D$ 上 $\nabla \phi =\mathbf{F}$（すなわち $\frac{\partial \phi }{\partial x}=P,\frac{\partial \phi }{\partial y}=Q$）をみたすものは存在しないことを証明せよ。ただし、曲線 $C:\mathbf{r}(t)(a\le t\le b)$ に沿う線積分は ${\int }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}={\int }_a^b\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot {\mathbf{r}}^{\prime }(t)dt$ で定める。

$S$ を ${\mathbb{R}}^3$ 内の向きの付いた区分的に滑らかな曲面とし、$\mathbf{n}$ をその単位法線ベクトルとする。$S$ の境界 $C$ は区分的に滑らかな単純閉曲線で、$\mathbf{n}$ に対して正の向き（右ねじの向き）に向きが付いているとする。すなわち、連続な写像 $\mathbf{r}:[a,b]\to {\mathbb{R}}^3$ と分点 $a=t_0<t_1<\cdots <t_N=b$ があって、$\mathbf{r}$ は各 $[t_{k-1},t_k]$ 上で $C^1$ 級、$\mathbf{r}(a)=\mathbf{r}(b)$ であり、$C$ はこの向きで $\mathbf{r}$ によりちょうど 1 周たどられるとする。$W$ を $S$ と $C$ を含む開集合とし、$f_1,g_1,f_2,g_2$ を $W$ 上の $C^2$ 級の実数値関数で、$C$ 上のすべての点で
$$f_1=f_2,g_1=g_2$$
をみたすものとする（$C$ の外では一致しなくてよい）。このとき
$${\iint }_S(\nabla f_1\times \nabla g_1)\cdot \mathbf{n}dS={\iint }_S(\nabla f_2\times \nabla g_2)\cdot \mathbf{n}dS$$
が成り立つことを証明せよ。ただし、$W$ 上の $C^1$ 級ベクトル場 $\mathbf{F}$ に対するストークスの定理
$${\oint }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\sum _{k=1}^N{\int }_{t_{k-1}}^{t_k}\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot {\mathbf{r}}^{\prime }(t)dt={\iint }_S(\nabla \times \mathbf{F})\cdot \mathbf{n}dS$$
（区間の端点での ${\mathbf{r}}^{\prime }$ は片側微分係数とする）、$C^2$ 級関数の 2 階偏導関数は微分の順序によらない（シュワルツの定理）こと、および合成関数の微分法（連鎖律）は用いてよい。回転は直交座標 $(x,y,z)$ で $\mathbf{A}=(A_1,A_2,A_3)$ に対し $\nabla \times \mathbf{A}=\left(\frac{\partial A_3}{\partial y}-\frac{\partial A_2}{\partial z},\frac{\partial A_1}{\partial z}-\frac{\partial A_3}{\partial x},\frac{\partial A_2}{\partial x}-\frac{\partial A_1}{\partial y}\right)$ で定める。

$k>0$ を定数とし、${\mathbb{R}}^3\setminus \{0\}$ 上の関数 $\Phi$ を
$$\Phi (x)=\frac{e^{-k|x|}}{4\pi |x|}(x\ne 0)$$
で定める。ここで $|x|$ はユークリッドノルム、$\Delta ={\sum }_{i=1}^3{\partial }^2/\partial x_i^2$ はラプラシアンである。$\Phi$ が作用素 $-\Delta +k^2$ の基本解であること、すなわち、${\mathbb{R}}^3$ 上の台がコンパクトな任意の $C^{\infty }$ 級関数 $\phi$ に対して、積分 ${\int }_{{\mathbb{R}}^3}\Phi (x)(-\Delta \phi (x)+k^2\phi (x))dx$ が（ルベーグ積分として）絶対収束し、
$${\int }_{{\mathbb{R}}^3}\Phi (x)(-\Delta \phi (x)+k^2\phi (x))dx=\phi (0)$$
が成り立つことを示せ。ただし、有界な領域で成り立つグリーンの第 2 公式（ガウスの発散定理）と、ルベーグの優収束定理は用いてよい。

$f$ を $[0,\pi ]$ 上の実数値連続関数とする。実数値関数 $u(x,t)$ は $[0,\pi ]\times [0,\infty )$ で連続であり、$[0,\pi ]\times (0,\infty )$ で $u_t,u_x,u_{xx}$ が存在して連続（$x=0,\pi$ では片側微分とする）で、
$$u_t=u_{xx}(0\le x\le \pi ,t>0),u(0,t)=u(\pi ,t)=0(t>0),u(x,0)=f(x)(0\le x\le \pi )$$
をみたすとする。$\beta =\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }f(y)\sin ydy$ とおくとき、
$$\underset{t\to \infty }{\lim }\underset{0\le x\le \pi }{\sup }|e^{t}u(x,t)-\beta \sin x|=0$$
が成り立つことを示せ。

ただし、次の事実は用いてよい：$[0,\pi ]$ 上の連続関数 $g$ が、すべての正の整数 $n$ について ${\int }_0^{\pi }g(x)\sin nxdx=0$ をみたすならば、$g$ は $[0,\pi ]$ 上で恒等的に $0$ である。

区間 $x\geqq 0$ で定義された実数値の微分可能な関数 $y(x)$ が、つねに $x+2y(x)>0$ を満たし、微分方程式
$$(y^2+xy+y)+(x+2y)y^{\prime }=0$$
と初期条件 $y(0)=1$ を満たすとする。$y(2)$ の値を求めよ。

$k$ を正の実数の定数とし、${\mathbb{R}}^2$ 上の関数
$$f(x,y)=x^2+xy+y^2-k\log \left(e^x+e^y\right)$$
を考える。$f$ が ${\mathbb{R}}^2$ 全体で凸関数となるような $k$ の最大値を $K$ とする。$K$ と、$k=K$ のときの $f$ の ${\mathbb{R}}^2$ 上での最小値を、この順に組 $(K,\text{最小値})$ で求めよ。

$xy$ 平面の原点を除いた領域 ${\mathbb{R}}^2\setminus \{(0,0)\}$ 上で、関数 $P,Q$ を
$$P(x,y)=-\frac{y}{x^2+4y^2}-x^{2}y+e^{x^2},Q(x,y)=\frac{x}{x^2+4y^2}+x{y}^2+\sin (y^2)$$
で定める。円 $C:(x-1{)}^2+y^2=4$ を反時計回りに 1 周する向きに向き付けるとき、線積分
$$I={\oint }_C\left(Pdx+Qdy\right)$$
の値を求めよ。

同じ資源をめぐって競争する 2 種の生物の個体数密度を $x(t),y(t)$（$t$ は時刻、$x\geqq 0,y\geqq 0$）とする。これらが、ロジスティック方程式に種間競争の項を加えた競争モデル
$$\frac{dx}{dt}=x(6-2x-y),\frac{dy}{dt}=y(5-x-2y)$$
に従うとする。

領域 $x\geqq 0,y\geqq 0$ にあるこの系の平衡点をすべて求め、各平衡点でのヤコビ行列の固有値を調べると、線形化によって漸近安定と判定される平衡点がちょうど 1 つある。その平衡点におけるヤコビ行列の固有値の集合を求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ 内の楕円面
$$S=\left\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3|\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}+z^2=1\right\}$$
に ${\mathbb{R}}^3$ の標準内積から誘導される計量を入れる。$S$ 上の点 $P$ で、$2$ つの主曲率が一致するとき（すなわち $P$ における第二基本形式が第一基本形式の定数倍であるとき）、$P$ を $S$ の臍点という。$S$ の臍点 $P$ を $1$ つとり、$P$ における $S$ のガウス曲率 $K(P)$ を求めよ（この値は臍点 $P$ の取り方によらない）。

${\mathbb{R}}^2$ に標準内積 $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ を入れ、凸関数 $f:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ を
$$f(x_1,x_2)=\log \left(e^{x_1}+e^{x_2}\right)+\frac{1}{2}(x_1-x_2{)}^2$$
で定める。$f$ の凸共役（ルジャンドル・フェンシェル変換）を
$$f^{\ast }(y)=\underset{x\in {\mathbb{R}}^2}{\sup }\left\{⟨y,x⟩-f(x)\right\}(y\in {\mathbb{R}}^2)$$
とする。
$$y^{\circ }=\left(\frac{3}{4}+\log 3,\frac{1}{4}-\log 3\right)$$
に対して、$f^{\ast }(y^{\circ })$ の値を求めよ。