ベクトル解析の問題

難易度 2教科書の演習問題レベル証明問題大学数学ベクトル解析

$U$ を $R^{3}$ の開集合とし、 $f, g$ を $U$ 上の $C^{2}$ 級の実数値関数とする。座標を $(x, y, z)$ とし、ベクトル場 $A = (A_{1}, A_{2}, A_{3})$ の発散と回転を
$\nabla \cdot A = \frac{\partial A _{1}}{\partial x} + \frac{\partial A _{2}}{\partial y} + \frac{\partial A _{3}}{\partial z}, \nabla \times A = (\frac{\partial A _{3}}{\partial y} - \frac{\partial A _{2}}{\partial z}, \frac{\partial A _{1}}{\partial z} - \frac{\partial A _{3}}{\partial x}, \frac{\partial A _{2}}{\partial x} - \frac{\partial A _{1}}{\partial y})$
で定める。このとき、 $U$ 上で
$\nabla \cdot (\nabla f \times \nabla g) = 0$
が成り立つことを証明せよ。ただし、 $C^{2}$ 級関数の 2 階偏導関数は微分の順序によらない（シュワルツの定理）ことは用いてよい。

この問題で使うもの

ベクトル解析の恒等式と積の公式（説明と入口の問題）
勾配・発散・回転（説明と入口の問題）
偏微分と全微分（説明と入口の問題）
空間ベクトルの外積（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（55 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

外積の発散 $\nabla \cdot (A \times B)$ を、それぞれの回転を使って表す恒等式を作り、勾配の回転が $0$ になることと組み合わせましょう。

ヒント 2

鍵になるのは $\nabla \cdot (A \times B) = B \cdot (\nabla \times A) - A \cdot (\nabla \times B)$ と $\nabla \times (\nabla h) = 0$ の 2 つです。後者はシュワルツの定理から出ます。

ヒント 3

$A \times B$ の成分を書き、 $\partial_{1} (A_{2} B_{3} - A_{3} B_{2}) + \partial_{2} (A_{3} B_{1} - A_{1} B_{3}) + \partial_{3} (A_{1} B_{2} - A_{2} B_{1})$ を積の微分法則で展開します。 $A$ が微分される 6 項を $B_{1}, B_{2}, B_{3}$ ごとにまとめると $B \cdot (\nabla \times A)$ になります。残りの 6 項も同じようにまとめてみましょう。

採点の観点と模範解答

自分で証明を書いてから、採点の観点で見比べてください。

採点の観点を見る

$\nabla f, \nabla g$ が $C^{1}$ 級であることを $f, g$ が $C^{2}$ 級であることから述べ、外積 $\nabla f \times \nabla g$ の発散が計算できることを確認している（1 点）
$A \times B$ の成分を正しく書き、その発散を積の微分法則で展開している（2 点）
展開した項を整理して、 $\nabla \cdot (A \times B) = B \cdot (\nabla \times A) - A \cdot (\nabla \times B)$ を符号まで正しく導いている（3 点）
$\nabla \times (\nabla h)$ の各成分が混合偏導関数の差になることを示し、シュワルツの定理（ $C^{2}$ 級であること）を根拠に $0$ であると結論している（3 点）
2 つの恒等式を $A = \nabla f$ , $B = \nabla g$ に当てはめ、 $\nabla \cdot (\nabla f \times \nabla g) = 0$ を結論として述べている（1 点）

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模範解答を読む

以下、 $\partial_{1} = \frac{\partial}{\partial x}, \partial_{2} = \frac{\partial}{\partial y}, \partial_{3} = \frac{\partial}{\partial z}$ と書く。

方針. まず、 $C^{1}$ 級のベクトル場 $A, B$ に対する恒等式
$\nabla \cdot (A \times B) = B \cdot (\nabla \times A) - A \cdot (\nabla \times B) (1)$
を示し、次に $C^{2}$ 級関数 $h$ に対して $\nabla \times (\nabla h) = 0$ $(2)$ を示す。最後に $A = \nabla f, B = \nabla g$ として $(1)$ , $(2)$ を組み合わせる。

補題 1（式 $(1)$ ）. $A = (A_{1}, A_{2}, A_{3})$ , $B = (B_{1}, B_{2}, B_{3})$ を $U$ 上の $C^{1}$ 級ベクトル場とする。外積の定義から
$A \times B = (A_{2} B_{3} - A_{3} B_{2}, A_{3} B_{1} - A_{1} B_{3}, A_{1} B_{2} - A_{2} B_{1})$
であり、各成分は $C^{1}$ 級関数の積の差なので偏微分できる。発散の定義と積の微分法則より
$\nabla \cdot (A \times B) = \partial_{1} (A_{2} B_{3} - A_{3} B_{2}) + \partial_{2} (A_{3} B_{1} - A_{1} B_{3}) + \partial_{3} (A_{1} B_{2} - A_{2} B_{1}) .$
右辺を積の微分法則で展開し、 $A$ の成分が微分される項と $B$ の成分が微分される項に分ける。

$A$ が微分される項は
$B_{3} \partial_{1} A_{2} - B_{2} \partial_{1} A_{3} + B_{1} \partial_{2} A_{3} - B_{3} \partial_{2} A_{1} + B_{2} \partial_{3} A_{1} - B_{1} \partial_{3} A_{2}$
で、 $B_{1}, B_{2}, B_{3}$ ごとにまとめると
$B_{1} (\partial_{2} A_{3} - \partial_{3} A_{2}) + B_{2} (\partial_{3} A_{1} - \partial_{1} A_{3}) + B_{3} (\partial_{1} A_{2} - \partial_{2} A_{1}) = B \cdot (\nabla \times A)$
となる（最後の等号は回転の定義による）。

$B$ が微分される項は
$A_{2} \partial_{1} B_{3} - A_{3} \partial_{1} B_{2} + A_{3} \partial_{2} B_{1} - A_{1} \partial_{2} B_{3} + A_{1} \partial_{3} B_{2} - A_{2} \partial_{3} B_{1}$
で、 $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ ごとにまとめると
$- [A_{1} (\partial_{2} B_{3} - \partial_{3} B_{2}) + A_{2} (\partial_{3} B_{1} - \partial_{1} B_{3}) + A_{3} (\partial_{1} B_{2} - \partial_{2} B_{1})] = - A \cdot (\nabla \times B)$
となる。2 つを合わせて $(1)$ が成り立つ。

補題 2（式 $(2)$ ）. $h$ を $U$ 上の $C^{2}$ 級関数とすると、 $\nabla h = (\partial_{1} h, \partial_{2} h, \partial_{3} h)$ は $C^{1}$ 級で、回転の定義より
$\nabla \times (\nabla h) = (\partial_{2} \partial_{3} h - \partial_{3} \partial_{2} h, \partial_{3} \partial_{1} h - \partial_{1} \partial_{3} h, \partial_{1} \partial_{2} h - \partial_{2} \partial_{1} h) .$
$h$ は $C^{2}$ 級なので、シュワルツの定理により $\partial_{i} \partial_{j} h = \partial_{j} \partial_{i} h$ $(i, j = 1, 2, 3)$ が成り立つ。よって各成分は $0$ であり、 $\nabla \times (\nabla h) = 0$ である。

本証明. $f, g$ は $C^{2}$ 級なので、 $A = \nabla f$ , $B = \nabla g$ はともに $U$ 上の $C^{1}$ 級ベクトル場であり、補題 1 が使える。 $(1)$ より
$\nabla \cdot (\nabla f \times \nabla g) = \nabla g \cdot (\nabla \times \nabla f) - \nabla f \cdot (\nabla \times \nabla g) .$
さらに $f, g$ は $C^{2}$ 級なので、補題 2 を $h = f$ と $h = g$ に適用すると $\nabla \times \nabla f = 0$ , $\nabla \times \nabla g = 0$ である。したがって右辺は $\nabla g \cdot 0 - \nabla f \cdot 0 = 0$ となる。

以上より、 $U$ 上で $\nabla \cdot (\nabla f \times \nabla g) = 0$ が成り立つ。

この問題の確認

AI が作成した問題です。公開前に次の確認を行いました。

別の AI が模範解答を見ずに 3 回証明を試み、3 回証明できました
2 つの AI が独立に、模範解答の証明を 1 ステップずつ確かめました
AI の査読で、条件・解説・表記を確認しました
答えの正しさについて慎重に扱うべき点が見つからなかったため、自動で公開しました

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