ベクトル解析の恒等式と積の公式

$xyz$ 空間のスカラー場 $f$ とベクトル場 $\mathbf{A}$ を
$$f(x,y,z)=xyz,\mathbf{A}(x,y,z)=(y,-x,z)$$
で定め、ベクトル場 $\mathbf{F}=f\mathbf{A}$ を考える。積の公式
$$\nabla \times (f\mathbf{A})=\nabla f\times \mathbf{A}+f\nabla \times \mathbf{A}$$
を用いて、点 $\mathrm{P}(1,2,3)$ における $\nabla \times \mathbf{F}$ の値を求めよ。答えは $x$ 成分、$y$ 成分、$z$ 成分の組 $(,,)$ の形で答えよ。

$xyz$ 空間のスカラー場 $\phi ,\psi$ を
$$\phi (x,y,z)=x^{2}y,\psi (x,y,z)=y{z}^2+x$$
で定め、ベクトル場 $\mathbf{F}=\phi \nabla \psi$ を考える。点 $(1,1,2)$ における回転 $\nabla \times \mathbf{F}$ の $x,y,z$ 成分を、この順に組で求めよ。

$xyz$ 空間のスカラー場 $\phi ,\psi$ を
$$\phi (x,y,z)=xyz,\psi (x,y,z)=x^2+y^2+z^2$$
で定め、ベクトル場 $\mathbf{F}=\phi \nabla \psi$ を考える。積の公式 $\nabla \cdot (f\mathbf{A})=\nabla f\cdot \mathbf{A}+f\nabla \cdot \mathbf{A}$ を用いて、点 $(1,2,3)$ における発散 $\nabla \cdot \mathbf{F}$ の値を求めよ。

$xyz$ 空間のスカラー場 $f$ とベクトル場 $\mathbf{G}$ を
$$f(x,y,z)=x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x,\mathbf{G}(x,y,z)=(yz,zx,xy)$$
で定める。ベクトル場 $f\mathbf{G}$ について、点 $(1,2,-1)$ における発散 $\mathrm{div}(f\mathbf{G})$ の値と、回転 $\mathrm{rot}(f\mathbf{G})$ の $z$ 成分の値を、この順に組で求めよ。

$U$ を ${\mathbb{R}}^3$ の開集合とし、$f,g$ を $U$ 上の $C^2$ 級の実数値関数とする。座標を $(x,y,z)$ とし、ベクトル場 $\mathbf{A}=(A_1,A_2,A_3)$ の発散と回転を
$$\nabla \cdot \mathbf{A}=\frac{\partial A_1}{\partial x}+\frac{\partial A_2}{\partial y}+\frac{\partial A_3}{\partial z},\nabla \times \mathbf{A}=\left(\frac{\partial A_3}{\partial y}-\frac{\partial A_2}{\partial z},\frac{\partial A_1}{\partial z}-\frac{\partial A_3}{\partial x},\frac{\partial A_2}{\partial x}-\frac{\partial A_1}{\partial y}\right)$$
で定める。このとき、$U$ 上で
$$\nabla \cdot (\nabla f\times \nabla g)=0$$
が成り立つことを証明せよ。ただし、$C^2$ 級関数の 2 階偏導関数は微分の順序によらない（シュワルツの定理）ことは用いてよい。

$V$ を ${\mathbb{R}}^3$ の有界な領域とし、その境界 $S$ は区分的に滑らかな閉曲面で、$\mathbf{n}$ を $S$ 上の外向き単位法線ベクトルとする。$W$ を $V$ の閉包 $\overline{V}$ を含む開集合とし、$u$ を $W$ 上の $C^2$ 級の実数値関数で、$V$ 上で
$$\Delta u=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial z^2}=0$$
をみたすものとする。このとき
$${\iiint }_V|\nabla u{|}^{2}dV={\iint }_{S}u(\nabla u\cdot \mathbf{n})dS$$
が成り立つことを証明せよ。ただし、$W$ 上の $C^1$ 級ベクトル場 $\mathbf{F}$ に対するガウスの発散定理 ${\iiint }_V\nabla \cdot \mathbf{F}dV={\iint }_S\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}dS$ は用いてよい。

$xyz$ 空間のスカラー場 $f$ とベクトル場 $\mathbf{G}$ を
$$f(x,y,z)=x^2+yz,\mathbf{G}(x,y,z)=\left(e^{yz},\sin (x^{2}z),\log (1+x^2+y^2)\right)$$
で定める。さらにベクトル場 $\mathbf{F}$ を
$$\mathbf{F}=f\nabla f+\nabla \times \mathbf{G}$$
で定める。球面 $S:x^2+y^2+z^2=4$ の外向き単位法線ベクトルを $\mathbf{n}$ とするとき、面積分
$${\iint }_S\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}dS$$
の値を求めよ。

$S$ を ${\mathbb{R}}^3$ 内の向きの付いた区分的に滑らかな曲面とし、$\mathbf{n}$ をその単位法線ベクトルとする。$S$ の境界 $C$ は区分的に滑らかな単純閉曲線で、$\mathbf{n}$ に対して正の向き（右ねじの向き）に向きが付いているとする。すなわち、連続な写像 $\mathbf{r}:[a,b]\to {\mathbb{R}}^3$ と分点 $a=t_0<t_1<\cdots <t_N=b$ があって、$\mathbf{r}$ は各 $[t_{k-1},t_k]$ 上で $C^1$ 級、$\mathbf{r}(a)=\mathbf{r}(b)$ であり、$C$ はこの向きで $\mathbf{r}$ によりちょうど 1 周たどられるとする。$W$ を $S$ と $C$ を含む開集合とし、$f_1,g_1,f_2,g_2$ を $W$ 上の $C^2$ 級の実数値関数で、$C$ 上のすべての点で
$$f_1=f_2,g_1=g_2$$
をみたすものとする（$C$ の外では一致しなくてよい）。このとき
$${\iint }_S(\nabla f_1\times \nabla g_1)\cdot \mathbf{n}dS={\iint }_S(\nabla f_2\times \nabla g_2)\cdot \mathbf{n}dS$$
が成り立つことを証明せよ。ただし、$W$ 上の $C^1$ 級ベクトル場 $\mathbf{F}$ に対するストークスの定理
$${\oint }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\sum _{k=1}^N{\int }_{t_{k-1}}^{t_k}\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot {\mathbf{r}}^{\prime }(t)dt={\iint }_S(\nabla \times \mathbf{F})\cdot \mathbf{n}dS$$
（区間の端点での ${\mathbf{r}}^{\prime }$ は片側微分係数とする）、$C^2$ 級関数の 2 階偏導関数は微分の順序によらない（シュワルツの定理）こと、および合成関数の微分法（連鎖律）は用いてよい。回転は直交座標 $(x,y,z)$ で $\mathbf{A}=(A_1,A_2,A_3)$ に対し $\nabla \times \mathbf{A}=\left(\frac{\partial A_3}{\partial y}-\frac{\partial A_2}{\partial z},\frac{\partial A_1}{\partial z}-\frac{\partial A_3}{\partial x},\frac{\partial A_2}{\partial x}-\frac{\partial A_1}{\partial y}\right)$ で定める。

$xyz$ 空間のスカラー場 $f$ とベクトル場 $\mathbf{G}$ を
$$f(x,y,z)=x^2+2y^2+3z^2,\mathbf{G}(x,y,z)=(y,z,x)$$
で定め、ベクトル場 $\mathbf{F}$ を
$$\mathbf{F}=\nabla f\times \mathbf{G}+f(\nabla \times \mathbf{G})$$
とする。球面 $x^2+y^2+z^2=4$ のうち $z\ge 1$ の部分を $S$ とし、$S$ 上の単位法線ベクトル $\mathbf{n}$ を外向き（原点から遠ざかる向き）にとる。面積分
$${\iint }_S\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}dS$$
の値を求めよ。

$\mathbf{r}=(x,y,z)$、$r=|\mathbf{r}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ とし、定ベクトル $\mathbf{a}=(1,-1,2)$ を用いて、${\mathbb{R}}^3\setminus \{0\}$ 上のベクトル場
$$\mathbf{A}(\mathbf{r})=\frac{\mathbf{a}\times \mathbf{r}}{r^3}$$
を定める。点 $\mathrm{P}(1,2,2)$ における $\mathrm{rot}\mathbf{A}$ の成分を $(x\text{成分},y\text{成分},z\text{成分})$ の組で求めよ。

$\mathbf{r}=(x,y,z)$、$r=|\mathbf{r}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ とし、定ベクトル $\mathbf{a}=(1,2,2)$ を用いる。$n,k$ を実数の定数として、${\mathbb{R}}^3\setminus \{0\}$ 上の関数
$$u(\mathbf{r})=r^n\left\{(\mathbf{a}\cdot \mathbf{r}{)}^2-k|\mathbf{a}{|}^2{r}^2\right\}$$
を考える。$n<0$ のとき、$u$ が ${\mathbb{R}}^3\setminus \{0\}$ 全体で $\nabla \cdot (\nabla u)=0$ を満たすような組 $(n,k)$ を求めよ。

$xyz$ 空間の関数
$$f(x,y,z)=(x^2+y^2+z^2{)}^2,g(x,y,z)=xy+yz+zx$$
を用いて、ベクトル場 $\mathbf{F}=\nabla f\times \nabla g$ を定める。点 $(1,2,3)$ における $\nabla \times \mathbf{F}$ を成分表示したものを $(p,q,r)$ とするとき、組 $(p,q,r)$ を求めよ。