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ベクトル解析の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学数学ベクトル解析

$x y z$ 空間のスカラー場 $f$ とベクトル場 $A$ を
$f (x, y, z) = x y z, A (x, y, z) = (y, - x, z)$
で定め、ベクトル場 $F = f A$ を考える。積の公式
$\nabla \times (f A) = \nabla f \times A + f \nabla \times A$
を用いて、点 $P (1, 2, 3)$ における $\nabla \times F$ の値を求めよ。答えは $x$ 成分、 $y$ 成分、 $z$ 成分の組 $(,,)$ の形で答えよ。

この問題で使うもの

ベクトル解析の恒等式と積の公式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（55 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

ベクトル解析の積の公式 $\nabla \times (f A) = \nabla f \times A + f \nabla \times A$ を使い、 $\nabla f$ と $\nabla \times A$ を別々に求めましょう。

ヒント 2

$\nabla f = (y z, x z, x y)$ 、 $\nabla \times A = (0, 0, - 2)$ です。あとは点 P での値を代入して外積を計算します。

ヒント 3

点 P では $\nabla f = (6, 3, 2)$ 、 $A = (2, - 1, 3)$ 、 $f = 6$ です。外積 $(6, 3, 2) \times (2, - 1, 3)$ を成分で計算し、 $6 \cdot (0, 0, - 2)$ を加えます。

答えと解説

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(11, - 14, - 24)

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解説を読む

積の公式 $\nabla \times (f A) = \nabla f \times A + f \nabla \times A$ を使う。 $f A$ をまとめて成分で偏微分する代わりに、 $\nabla f$ と $\nabla \times A$ を別々に求めればよい。

手順 1： $\nabla f$ を求める。
$\nabla f = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}) = (y z, x z, x y)$
よって点 $P (1, 2, 3)$ では $\nabla f = (6, 3, 2)$ 。また $f (P) = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$ 、 $A (P) = (2, - 1, 3)$ 。

手順 2： $\nabla \times A$ を求める。
$A = (A_{x}, A_{y}, A_{z}) = (y, - x, z)$ より
$\nabla \times A = (\frac{\partial A _{z}}{\partial y} - \frac{\partial A _{y}}{\partial z}, \frac{\partial A _{x}}{\partial z} - \frac{\partial A _{z}}{\partial x}, \frac{\partial A _{y}}{\partial x} - \frac{\partial A _{x}}{\partial y}) = (0 - 0, 0 - 0, - 1 - 1) = (0, 0, - 2)$

手順 3：外積 $\nabla f \times A$ を点 P で計算する。
$(6, 3, 2) \times (2, - 1, 3) = (3 \cdot 3 - 2 \cdot (- 1), 2 \cdot 2 - 6 \cdot 3, 6 \cdot (- 1) - 3 \cdot 2) = (11, - 14, - 12)$

手順 4：公式に代入する。
$f \nabla \times A = 6 \cdot (0, 0, - 2) = (0, 0, - 12)$
したがって
$\nabla \times F (P) = (11, - 14, - 12) + (0, 0, - 12) = (11, - 14, - 24)$

（確認） $F = (x y^{2} z, - x^{2} y z, x y z^{2})$ を直接計算すると $\nabla \times F = (x z^{2} + x^{2} y, x y^{2} - y z^{2}, - 4 x y z)$ で、点 P では $(9 + 2, 4 - 18, - 24) = (11, - 14, - 24)$ となり一致する。

答え： $(11, - 14, - 24)$

別解

$f = x y z$ より $\nabla f = (y z, x z, x y)$ 。点 P(1,2,3) では $\nabla f = (6, 3, 2)$ 。

$A = (y, - x, z)$ なので P では $A = (2, - 1, 3)$ 。

$\nabla \times A$ の各成分は
$x$ 成分: $\partial_{y} A_{z} - \partial_{z} A_{y} = 0 - 0 = 0$
$y$ 成分: $\partial_{z} A_{x} - \partial_{x} A_{z} = 0 - 0 = 0$
$z$ 成分: $\partial_{x} A_{y} - \partial_{y} A_{x} = - 1 - 1 = - 2$
よって $\nabla \times A = (0, 0, - 2)$ 。

$f (P) = 6$ なので $f \nabla \times A = (0, 0, - 12)$ 。

外積 $\nabla f \times A = (6, 3, 2) \times (2, - 1, 3)$ :
$x$ : $3 \cdot 3 - 2 \cdot (- 1) = 9 + 2 = 11$
$y$ : $2 \cdot 2 - 6 \cdot 3 = 4 - 18 = - 14$
$z$ : $6 \cdot (- 1) - 3 \cdot 2 = - 6 - 6 = - 12$
よって $(11, - 14, - 12)$ 。

合計: $(11, - 14, - 12) + (0, 0, - 12) = (11, - 14, - 24)$ 。

検算: $F = (x y^{2} z, - x^{2} y z, x y z^{2})$ を直接計算する。
$x$ 成分: $\partial_{y} F_{z} - \partial_{z} F_{y} = x z^{2} + x^{2} y = 1 \cdot 9 + 1 \cdot 2 = 11$
$y$ 成分: $\partial_{z} F_{x} - \partial_{x} F_{z} = x y^{2} - y z^{2} = 4 - 18 = - 14$
$z$ 成分: $\partial_{x} F_{y} - \partial_{y} F_{x} = - 2 x y z - 2 x y z = - 4 x y z = - 24$
一致する。

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