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ベクトル解析の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学数学ベクトル解析

$x y z$ 空間のスカラー場 $φ, ψ$ を
$φ (x, y, z) = x^{2} y, ψ (x, y, z) = y z^{2} + x$
で定め、ベクトル場 $F = φ \nabla ψ$ を考える。点 $(1, 1, 2)$ における回転 $\nabla \times F$ の $x, y, z$ 成分を、この順に組で求めよ。

この問題で使うもの

ベクトル解析の恒等式と積の公式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（55 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

ベクトル解析の積の公式 $\nabla \times (φ A) = \nabla φ \times A + φ \nabla \times A$ を $A = \nabla ψ$ として使ってみよう。

ヒント 2

恒等式 $\nabla \times (\nabla ψ) = 0$ により、 $\nabla \times F = \nabla φ \times \nabla ψ$ となる。

ヒント 3

点 $(1, 1, 2)$ で $\nabla φ = (2, 1, 0)$ 、 $\nabla ψ = (1, 4, 4)$ である。あとはこの 2 つの外積を計算すればよい。

答えと解説

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(4, - 8, 7)

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解説を読む

方針　 $F$ の成分を書き出して回転を計算することもできるが、積の公式と恒等式を使うと短く済む。

手順 1：積の公式を使う　スカラー場 $φ$ とベクトル場 $A$ について
$\nabla \times (φ A) = \nabla φ \times A + φ \nabla \times A$
が成り立つ。 $A = \nabla ψ$ とすると
$\nabla \times F = \nabla φ \times \nabla ψ + φ \nabla \times (\nabla ψ) .$

手順 2：恒等式 $\nabla \times (\nabla ψ) = 0$ を使う　 $ψ$ は多項式なので 2 階偏導関数が連続であり、この恒等式が使える。よって第 2 項は消え、
$\nabla \times F = \nabla φ \times \nabla ψ .$

手順 3：勾配を計算する
$\nabla φ = (2 x y, x^{2}, 0), \nabla ψ = (1, z^{2}, 2 y z) .$
点 $(1, 1, 2)$ では
$\nabla φ = (2, 1, 0), \nabla ψ = (1, 4, 4) .$

手順 4：外積を計算する
$(2, 1, 0) \times (1, 4, 4) = (1 \cdot 4 - 0 \cdot 4, 0 \cdot 1 - 2 \cdot 4, 2 \cdot 4 - 1 \cdot 1) = (4, - 8, 7) .$

確認　 $F = (x^{2} y, x^{2} y z^{2}, 2 x^{2} y^{2} z)$ から直接計算すると
$\nabla \times F = (4 x^{2} y z - 2 x^{2} y z, 0 - 4 x y^{2} z, 2 x y z^{2} - x^{2}) = (2 x^{2} y z, - 4 x y^{2} z, 2 x y z^{2} - x^{2})$
となり、点 $(1, 1, 2)$ で $(4, - 8, 7)$ となって一致する。

したがって答えは $(4, - 8, 7)$ である。

別解

恒等式 $\nabla \times (φ \nabla ψ) = \nabla φ \times \nabla ψ + φ \nabla \times (\nabla ψ) = \nabla φ \times \nabla ψ$ を用いる（ $\nabla \times \nabla ψ = 0$ 。 $ψ$ は多項式で $C^{2}$ 級）。
$\nabla φ = (2 x y, x^{2}, 0)$ なので点 $(1, 1, 2)$ で $(2, 1, 0)$ 。
$\nabla ψ = (1, z^{2}, 2 y z)$ なので点 $(1, 1, 2)$ で $(1, 4, 4)$ 。
外積は
$x$ 成分: $1 \cdot 4 - 0 \cdot 4 = 4$
$y$ 成分: $0 \cdot 1 - 2 \cdot 4 = - 8$
$z$ 成分: $2 \cdot 4 - 1 \cdot 1 = 7$
検算: 直接 $F = (x^{2} y, x^{2} y z^{2}, 2 x^{2} y^{2} z)$ とおく。
$(\nabla \times F)_{x} = \partial_{y} F_{z} - \partial_{z} F_{y} = 4 x^{2} y z - 2 x^{2} y z = 2 x^{2} y z$ 、点で $4$ 。
$(\nabla \times F)_{y} = \partial_{z} F_{x} - \partial_{x} F_{z} = 0 - 4 x y^{2} z = - 8$ 。
$(\nabla \times F)_{z} = \partial_{x} F_{y} - \partial_{y} F_{x} = 2 x y z^{2} - x^{2} = 8 - 1 = 7$ 。
一致する。

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