ベクトル解析

空間の 2 つのベクトル $$\mathbf{a}=(1,2,0),\mathbf{b}=(3,-1,2)$$ について、始点をそろえた $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ を 2 辺とする平行四辺形の面積 $S$ を、外積 $\mathbf{a}\times \mathbf{b}$ を用いて求めよ。

$xyz$ 空間の 2 つのベクトル
$$\mathbf{a}=(1,2,2),\mathbf{b}=(2,1,-2)$$
について、$\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ を 2 辺とする平行四辺形の面積 $S$ を求めよ。

空間の 2 つのベクトル $\mathbf{a}=(1,0,2)$, $\mathbf{b}=(0,1,2)$ について、外積 $\mathbf{a}\times \mathbf{b}$ を成分で計算し、$\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ を 2 辺とする平行四辺形の面積 $S$ を求めよ。

$xy$ 平面のベクトル場
$$\mathbf{F}(x,y)=\left(xy,x^2\right)$$
を考える。曲線 $C$ を放物線 $y=x^2$ のうち $0\le x\le 1$ の部分とし、点 $\mathrm{A}(1,1)$ から原点 $\mathrm{O}(0,0)$ へ向かう向きをつける。線積分
$${\int }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$$
の値を求めよ。

$xy$ 平面上のベクトル場 $\mathbf{F}$ を
$$\mathbf{F}(x,y)=\left(xy,x+y\right)$$
で定める。曲線 $C$ を、放物線 $y=x^2$ のうち点 $\mathrm{A}(1,1)$ から原点 $\mathrm{O}(0,0)$ へ向かう部分（向きは $\mathrm{A}$ から $\mathrm{O}$ へ）とする。線積分
$${\int }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$$
の値を求めよ。

$xy$ 平面のベクトル場 $$\mathbf{F}(x,y)=\left(xy,x+y\right)$$ を考える。曲線 $C$ を、放物線 $y=x^2$ のうち点 $\mathrm{A}(1,1)$ から原点 $\mathrm{O}(0,0)$ までの部分とし、$\mathrm{A}$ から $\mathrm{O}$ へ向かう向きをつける。このとき、線積分 $${\int }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$$ の値を求めよ。

$xyz$ 空間のベクトル場
$$\mathbf{F}(x,y,z)=\left(xy,y{z}^2,x^{2}z\right)$$
について、点 $(1,2,3)$ における回転 $\nabla \times \mathbf{F}$ を求め、その $x$ 成分、$y$ 成分、$z$ 成分をこの順に組で答えよ。

$xyz$ 空間のベクトル場
$$\mathbf{F}(x,y,z)=\left(x^{2}z+2y,x{y}^2,y{z}^2-x\right)$$
について、回転 $\nabla \times \mathbf{F}$ の点 $(1,2,3)$ における値を求めよ。答えは成分の組 $(x\text{成分},y\text{成分},z\text{成分})$ の形で答えよ。

$xyz$ 空間のベクトル場
$$\mathbf{F}(x,y,z)=\left(x^{2}y+z,y^{2}z,x{z}^3\right)$$
について、点 $(1,-1,2)$ における発散 $\nabla \cdot \mathbf{F}$ の値を求めよ。

$xy$ 平面上で、4 点 $(0,0)$, $(2,0)$, $(2,3)$, $(0,3)$ を頂点とする長方形の周を $C$ とする。$C$ には正の向き（反時計回り、長方形の内部を左側に見て進む向き）をつける。線積分
$$I={\oint }_C\left\{(x^2-y^2)dx+(xy+x)dy\right\}$$
の値を、グリーンの定理を用いて求めよ。

$xy$ 平面上の長方形の領域 $D=\{(x,y)\mid 0\le x\le 2,0\le y\le 1\}$ の境界を、正の向き（反時計回り、$D$ を左側に見て進む向き）に 1 周する閉曲線を $C$ とする。グリーンの定理を用いて、線積分
$$I={\oint }_C\left\{(e^x-xy)dx+(x^2+\sin y)dy\right\}$$
の値を求めよ。

$xy$ 平面上で、4 点 $(0,0),(2,0),(2,3),(0,3)$ を頂点とする長方形の周を $C$ とする。$C$ には正の向き（反時計回り）をつける。グリーンの定理を用いて、線積分
$$I={\oint }_C\left\{xydx+(x^2+y)dy\right\}$$
の値を求めよ。

$xyz$ 空間の曲面
$$S=\left\{(x,y,z)|z=\frac{4}{3}{x}^{3/2},0\le x\le 2,0\le y\le 3\right\}$$
の面積を求めよ。

$uv$ 平面の円板 $D=\{(u,v)\mid u^2+v^2\le 6\}$ 上で定義された写像
$$\mathbf{r}(u,v)=(u+v,u-v,uv)((u,v)\in D)$$
によって、$xyz$ 空間の曲面 $S$ が表されている。曲面 $S$ の面積を求めよ。

$xyz$ 空間の曲面
$$S=\left\{(x,y,z)|z=\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}},0\le x\le 3,0\le y\le 2\right\}$$
の面積を求めよ。

$\mathbf{r}=(x,y,z)$、$r=|\mathbf{r}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ とし、${\mathbb{R}}^3$ 上のスカラー場 $u=r^4$ を考える。点 $(2,-1,2)$ におけるラプラシアン ${\nabla }^{2}u=\nabla \cdot (\nabla u)$ の値を求めよ。

$xyz$ 空間で $\mathbf{r}=(x,y,z)$、$r=|\mathbf{r}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ とする。スカラー場 $f=r^4$ のラプラシアン $\nabla \cdot (\nabla f)$ の、点 $(1,2,2)$ における値を求めよ。

$\mathbf{r}=(x,y,z)$、$r=|\mathbf{r}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ とする。スカラー場 $\phi =r^3$ のラプラシアン $\nabla \cdot (\nabla \phi )$ の、点 $(2,3,6)$ における値を求めよ。

$xyz$ 空間のスカラー場 $f$ とベクトル場 $\mathbf{A}$ を
$$f(x,y,z)=xyz,\mathbf{A}(x,y,z)=(y,-x,z)$$
で定め、ベクトル場 $\mathbf{F}=f\mathbf{A}$ を考える。積の公式
$$\nabla \times (f\mathbf{A})=\nabla f\times \mathbf{A}+f\nabla \times \mathbf{A}$$
を用いて、点 $\mathrm{P}(1,2,3)$ における $\nabla \times \mathbf{F}$ の値を求めよ。答えは $x$ 成分、$y$ 成分、$z$ 成分の組 $(,,)$ の形で答えよ。

$xyz$ 空間のスカラー場 $\phi ,\psi$ を
$$\phi (x,y,z)=x^{2}y,\psi (x,y,z)=y{z}^2+x$$
で定め、ベクトル場 $\mathbf{F}=\phi \nabla \psi$ を考える。点 $(1,1,2)$ における回転 $\nabla \times \mathbf{F}$ の $x,y,z$ 成分を、この順に組で求めよ。

$xyz$ 空間のスカラー場 $\phi ,\psi$ を
$$\phi (x,y,z)=xyz,\psi (x,y,z)=x^2+y^2+z^2$$
で定め、ベクトル場 $\mathbf{F}=\phi \nabla \psi$ を考える。積の公式 $\nabla \cdot (f\mathbf{A})=\nabla f\cdot \mathbf{A}+f\nabla \cdot \mathbf{A}$ を用いて、点 $(1,2,3)$ における発散 $\nabla \cdot \mathbf{F}$ の値を求めよ。

$a$ を実数の定数とし、$xy$ 平面全体で定義されたベクトル場
$$\mathbf{F}(x,y)=\left(3x^{2}y+a{y}^2,x^3+4xy\right)$$
を考える。$\mathbf{F}$ を $z$ 成分が $0$ の空間ベクトル場とみなしたとき、$\nabla \times \mathbf{F}=0$ がすべての点で成り立つように $a$ を定める。このとき、曲線
$$C:\mathbf{r}(t)=(t+1,t^2)(0\le t\le 1)$$
に沿った線積分 ${\int }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$ の値を求めよ。

$a$ を実数の定数とし、$xyz$ 空間のベクトル場
$$\mathbf{F}(x,y,z)=\left(y^2+axz,2xy+z,x^2+y\right)$$
を考える。$\nabla \times \mathbf{F}=0$ が空間全体で成り立つように $a$ を定める。このとき、曲線
$$C:\mathbf{r}(t)=(1+t,t^2,2t)(0\le t\le 1)$$
に沿った線積分 ${\int }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$ の値を求めよ。ただし、$C$ の向きは $t$ が増加する向きとする。

$a$ を実数の定数とし、$xy$ 平面全体で定義されたベクトル場
$$\mathbf{F}(x,y)=\left(ax{y}^2+3x^2,2x^{2}y+e^y\right)$$
を考える。$\mathbf{F}$ が保存場、すなわちある関数 $\phi (x,y)$ を用いて $\mathbf{F}=\nabla \phi$ と表せるように定数 $a$ を定める。このときの $\mathbf{F}$ について、曲線
$$C:\mathbf{r}(t)=(t,t^3)(0\le t\le 1)$$
に沿った線積分 ${\int }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$ の値を求めよ。ただし、$C$ の向きは $t$ が増加する向きとする。

$xyz$ 空間の円柱面の一部
$$S=\{(x,y,z)\mid x^2+y^2=4,0\le z\le 3\}$$
を考える（$S$ は側面だけで、上下の円板は含まない）。$S$ の向きは、法線ベクトルが $z$ 軸から遠ざかる向き（外向き）とする。ベクトル場
$$\mathbf{F}(x,y,z)=(xz,y,z)$$
の $S$ を通る流束
$${\iint }_S\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}dS$$
を求めよ。ただし $\mathbf{n}$ は $S$ の外向きの単位法線ベクトルである。必要なら、$S$ の媒介変数表示 $\mathbf{r}(\theta ,z)=(2\cos \theta ,2\sin \theta ,z)$（$0\le \theta \le 2\pi ,0\le z\le 3$）を用いてよい。

$xyz$ 空間の円柱面の側面
$$S=\{(x,y,z)\mid x^2+y^2=1,0\le z\le 2\}$$
を考える（$S$ は側面だけで、上下の円板は含まない）。$S$ の向きを、$z$ 軸から遠ざかる向き（外向き）の単位法線ベクトル $\mathbf{n}$ で定める。ベクトル場
$$\mathbf{F}(x,y,z)=\left(xz,2y,z^2\right)$$
の $S$ を通る流束
$${\iint }_S\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}dS$$
を求めよ。

$xyz$ 空間の円柱面の側面
$$S=\{(x,y,z)\mid x^2+y^2=1,0\le z\le 3\}$$
を考える（上下のふたの円板は含まない）。$S$ には円柱の外側を向く単位法線ベクトル $\mathbf{n}$ で向きをつける。ベクトル場
$$\mathbf{F}(x,y,z)=\left(xz,y,z^2\right)$$
の $S$ を通る流束 ${\iint }_S\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}dS$ を求めよ。

$xy$ 平面から原点を除いた領域 $D={\mathbb{R}}^2\setminus \{(0,0)\}$ 上で、曲線 $C$ を
$$\mathbf{r}(t)=\left((2+t)\cos \frac{3\pi t}{2},(2+t)\sin \frac{3\pi t}{2}\right)(0\le t\le 1)$$
で定め、$t$ が増える向きに進むものとする。このとき、線積分
$$I={\int }_C\frac{(2x-3y)dx+(3x+2y)dy}{x^2+y^2}$$
の値を求めよ。

原点を除いた $xy$ 平面 $D={\mathbb{R}}^2\setminus \{(0,0)\}$ 上のベクトル場
$$\mathbf{F}(x,y)=\left(\frac{3x-y}{x^2+y^2},\frac{x+3y}{x^2+y^2}\right)$$
と、媒介変数表示
$$\mathbf{r}(t)=((1+t)\cos \pi t,(1+t)\sin \pi t)(0\le t\le 3)$$
で表される曲線 $C$（向きは $t$ が増える向き）を考える。線積分
$${\int }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$$
の値を求めよ。

原点を除いた $xy$ 平面 $D={\mathbb{R}}^2\setminus \{(0,0)\}$ 上のベクトル場
$$\mathbf{F}(x,y)=\left(\frac{x-2y}{x^2+y^2},\frac{2x+y}{x^2+y^2}\right)$$
と、媒介変数表示された曲線
$$C:\mathbf{r}(t)=\left(2^t\cos (\pi t),2^t\sin (\pi t)\right)\left(0\le t\le \frac{5}{2}\right)$$
を考える（向きは $t$ が増える向き）。線積分
$${\int }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$$
の値を求めよ。

$xyz$ 空間の直方体領域
$$V=\{(x,y,z)\mid 0\le x\le 1,0\le y\le 2,0\le z\le 3\}$$
の境界の閉曲面（6 つの長方形の面）を $S$、$S$ 上の外向き単位法線ベクトルを $\mathbf{n}$ とする。ベクトル場
$$\mathbf{F}(x,y,z)=\left(x^2+yz,y^2+xz,z^2+xy\right)$$
について、外向きの流束
$${\iint }_S\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}dS$$
を求めよ。

$xyz$ 空間の直方体領域 $$V=\{(x,y,z)\mid 0\le x\le 2,0\le y\le 1,0\le z\le 3\}$$ の境界の閉曲面（6 つの長方形の面）を $S$、$S$ 上の外向き単位法線ベクトルを $\mathbf{n}$ とする。ベクトル場 $$\mathbf{F}(x,y,z)=\left(x^2+y,yz,3z-x\right)$$ について、$S$ を通る外向きの流束 $${\iint }_S\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}dS$$ をガウスの発散定理を用いて求めよ。

$xyz$ 空間の直方体領域 $$V=\{(x,y,z)\mid 0\le x\le 1,0\le y\le 2,0\le z\le 3\}$$ の境界の閉曲面（6 つの長方形の面）を $S$ とし、$S$ 上の外向き単位法線ベクトルを $\mathbf{n}$ とする。ベクトル場 $$\mathbf{F}(x,y,z)=\left(x^2,xy,yz\right)$$ について、外向きの流束 $${\iint }_S\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}dS$$ をガウスの発散定理を用いて求めよ。

$xyz$ 空間のベクトル場
$$\mathbf{F}(x,y,z)=\left(-2y+z{e}^x,4x+x{y}^2+z\sin y,x^{2}yz\right)$$
と、円錐面の一部
$$S=\left\{(x,y,z)|z=3-\sqrt{x^2+y^2},z\ge 0\right\}$$
を考える。$S$ の単位法線ベクトル $\mathbf{n}$ は $z$ 成分が正の向き（上向き）にとる。このとき、面積分
$${\iint }_S(\nabla \times \mathbf{F})\cdot \mathbf{n}dS$$
の値を求めよ。

$xyz$ 空間のベクトル場
$$\mathbf{F}(x,y,z)=\left(-3y+z^2,x+yz,xyz\right)$$
と、上半球面
$$S=\{(x,y,z)\mid x^2+y^2+z^2=4,z\ge 0\}$$
を考える。$S$ の単位法線ベクトル $\mathbf{n}$ は球の外向き（原点から遠ざかる向き）にとる。このとき、回転の面積分
$${\iint }_S(\nabla \times \mathbf{F})\cdot \mathbf{n}dS$$
の値を求めよ。

$xyz$ 空間のベクトル場
$$\mathbf{F}(x,y,z)=\left(xyz,2z+\sin y,3y+yz+x^2\right)$$
と、媒介変数表示
$$\mathbf{r}(t)=(1,2\cos t,3\sin t)(0\le t\le 2\pi )$$
で与えられる閉曲線 $C$（平面 $x=1$ 上の楕円）を考える。$C$ の向きは $t$ が増加する向きとする。ストークスの定理を用いて、線積分
$${\oint }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$$
の値を求めよ。

$xyz$ 空間の領域 $V=\{(x,y,z)\mid x^2+y^2\le 4,0\le z\le 3\}$ を考え、その境界の閉曲面（側面・上面・底面）を $S$、$S$ 上の外向き単位法線ベクトルを $\mathbf{n}$ とする。ベクトル場
$$\mathbf{F}(x,y,z)=(x+y^2,yz,z^2)$$
について、面積分
$${\iint }_S\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}dS$$
の値を求めよ。

$xyz$ 空間のベクトル場
$$\mathbf{F}(x,y,z)=(2xy+z,x^2+3z,x+3y)$$
と、媒介変数表示された曲線
$$C:\mathbf{r}(t)=(\cos t,\sin t,t)(0\le t\le \pi )$$
を考える（向きは $t$ が増加する向き）。線積分
$${\int }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$$
の値を求めよ。

$xyz$ 空間のベクトル場
$$\mathbf{F}(x,y,z)=\left(z^2-2y,3x+yz,e^{xy}\right)$$
と、回転放物面の一部
$$S=\{(x,y,z)\mid z=4-x^2-y^2,z\ge 0\}$$
を考える。$S$ の向きは、単位法線ベクトル $\mathbf{n}$ の $z$ 成分が正となる向き（上向き）とし、$dS$ を面積要素とする。面積分
$${\iint }_S(\nabla \times \mathbf{F})\cdot \mathbf{n}dS$$
の値を求めよ。

$xyz$ 空間の四面体領域
$$V=\{(x,y,z)\mid x\ge 0,y\ge 0,z\ge 0,x+2y+3z\le 6\}$$
の境界の閉曲面（4 つの三角形の面）を $S$、$S$ 上の外向き単位法線ベクトルを $\mathbf{n}$ とする。ベクトル場
$$\mathbf{F}(x,y,z)=(xy,yz,zx)$$
について、面積分 $${\iint }_S\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}dS$$ の値を求めよ。

$xyz$ 空間の曲面
$$S=\{(x,y,z)\mid z=xy,0\le x\le 1,0\le y\le 2\}$$
と、ベクトル場
$$\mathbf{F}(x,y,z)=\left(x^2,y,3z\right)$$
を考える。$S$ の単位法線ベクトル $\mathbf{n}$ を $z$ 成分が正となる向き（上向き）にとるとき、$S$ を通る $\mathbf{F}$ の流束
$${\iint }_S\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}dS$$
を求めよ。

$xyz$ 空間のスカラー場 $f$ とベクトル場 $\mathbf{G}$ を
$$f(x,y,z)=x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x,\mathbf{G}(x,y,z)=(yz,zx,xy)$$
で定める。ベクトル場 $f\mathbf{G}$ について、点 $(1,2,-1)$ における発散 $\mathrm{div}(f\mathbf{G})$ の値と、回転 $\mathrm{rot}(f\mathbf{G})$ の $z$ 成分の値を、この順に組で求めよ。

$xy$ 平面上で、放物線 $y=x^2$ と直線 $y=2x$ で囲まれた有界な領域を $D$ とし、$D$ の境界を正の向き（反時計回り、$D$ を左側に見て進む向き）に 1 周する閉曲線を $C$ とする。線積分
$$I={\oint }_C\left(\sin x-x^{2}y\right)dx+\left(x{y}^2+e^y\right)dy$$
の値を求めよ。

$U$ を ${\mathbb{R}}^3$ の開集合とし、$f,g$ を $U$ 上の $C^2$ 級の実数値関数とする。座標を $(x,y,z)$ とし、ベクトル場 $\mathbf{A}=(A_1,A_2,A_3)$ の発散と回転を
$$\nabla \cdot \mathbf{A}=\frac{\partial A_1}{\partial x}+\frac{\partial A_2}{\partial y}+\frac{\partial A_3}{\partial z},\nabla \times \mathbf{A}=\left(\frac{\partial A_3}{\partial y}-\frac{\partial A_2}{\partial z},\frac{\partial A_1}{\partial z}-\frac{\partial A_3}{\partial x},\frac{\partial A_2}{\partial x}-\frac{\partial A_1}{\partial y}\right)$$
で定める。このとき、$U$ 上で
$$\nabla \cdot (\nabla f\times \nabla g)=0$$
が成り立つことを証明せよ。ただし、$C^2$ 級関数の 2 階偏導関数は微分の順序によらない（シュワルツの定理）ことは用いてよい。

$V$ を ${\mathbb{R}}^3$ の有界な領域とし、その境界 $S$ は区分的に滑らかな閉曲面で、$\mathbf{n}$ を $S$ 上の外向き単位法線ベクトルとする。$W$ を $V$ の閉包 $\overline{V}$ を含む開集合とし、$u$ を $W$ 上の $C^2$ 級の実数値関数で、$V$ 上で
$$\Delta u=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial z^2}=0$$
をみたすものとする。このとき
$${\iiint }_V|\nabla u{|}^{2}dV={\iint }_{S}u(\nabla u\cdot \mathbf{n})dS$$
が成り立つことを証明せよ。ただし、$W$ 上の $C^1$ 級ベクトル場 $\mathbf{F}$ に対するガウスの発散定理 ${\iiint }_V\nabla \cdot \mathbf{F}dV={\iint }_S\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}dS$ は用いてよい。

$xyz$ 空間のスカラー場 $f$ とベクトル場 $\mathbf{G}$ を
$$f(x,y,z)=x^2+yz,\mathbf{G}(x,y,z)=\left(e^{yz},\sin (x^{2}z),\log (1+x^2+y^2)\right)$$
で定める。さらにベクトル場 $\mathbf{F}$ を
$$\mathbf{F}=f\nabla f+\nabla \times \mathbf{G}$$
で定める。球面 $S:x^2+y^2+z^2=4$ の外向き単位法線ベクトルを $\mathbf{n}$ とするとき、面積分
$${\iint }_S\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}dS$$
の値を求めよ。

$xyz$ 空間のベクトル場
$$\mathbf{F}(x,y,z)=\left(x^3+y^{2}z,y^3+\sin (xz),z^3+e^{xy}\right)$$
と、楕円体面
$$S=\left\{(x,y,z)|x^2+\frac{y^2}{4}+\frac{z^2}{9}=1\right\}$$
を考える。$S$ 上の外向き単位法線ベクトルを $\mathbf{n}$、面積要素を $dS$ とするとき、面積分
$$\Phi ={\iint }_S\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}dS$$
の値を求めよ。

$xyz$ 空間のベクトル場
$$\mathbf{F}(x,y,z)=\left(x^{2}y+x{y}^2+e^x\sin z,3x+z\cos (y^2),e^{xy}+xy{z}^2\right)$$
と、直方体
$$V=\{(x,y,z)\mid 0\le x\le 2,0\le y\le 1,0\le z\le 3\}$$
を考える。$V$ の表面（6 つの面）から底面 $z=0$ を取り除いた残りの 5 つの面からなる曲面を $S$ とし、$S$ の単位法線ベクトル $\mathbf{n}$ は $V$ の外側を向くものとする。面積分
$${\iint }_S(\nabla \times \mathbf{F})\cdot \mathbf{n}dS$$
の値を求めよ。

$a,b$ を実数の定数とし、$xyz$ 空間のベクトル場
$$\mathbf{F}(x,y,z)=\left(2x{y}^2+z^3,a{x}^{2}y+z,3x{z}^2+by\right)$$
を考える。定数 $a,b$ は、$\mathbf{F}$ が ${\mathbb{R}}^3$ 全体で保存場となる（ある $C^1$ 級関数 $\phi$ によって $\mathbf{F}=\nabla \phi$ と表せる）ように定める。このとき、曲線
$$C:\mathbf{r}(t)=\left(\cos \pi t,1+t^2,\sin \frac{\pi t}{2}\right)(0\le t\le 1)$$
に沿った線積分
$${\int }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$$
の値を求めよ。ただし $C$ の向きは $t$ が増加する向きとする。

$a,b$ を実数の定数とし、$xyz$ 空間のベクトル場
$$\mathbf{F}(x,y,z)=\left(axy+z^3,x^2+2z,bx{z}^2+2y\right)$$
を考える。$\mathbf{F}$ が ${\mathbb{R}}^3$ 全体で $\mathrm{rot}\mathbf{F}=0$ をみたすように $a,b$ を定める。このとき、媒介変数表示された曲線
$$C:\mathbf{r}(t)=\left(e^t\cos \pi t,t^2,1+t-t^2\right)(0\le t\le 1)$$
に沿った線積分
$${\int }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$$
の値を求めよ。ただし $C$ の向きは $t$ が増加する向きとする。

原点を除いた $xy$ 平面 $D={\mathbb{R}}^2\setminus \{(0,0)\}$ 上のベクトル場
$$\mathbf{F}(x,y)=\left(\frac{x-y}{x^2+y^2},\frac{x+y}{x^2+y^2}\right)$$
と、媒介変数表示された曲線
$$C:\mathbf{r}(t)=((1+t)\cos 2t,(1+t)\sin 2t)(0\le t\le \pi )$$
を考える（向きは $t$ が増える向き）。線積分
$${\int }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$$
の値を求めよ。

$xyz$ 空間のベクトル場
$$\mathbf{F}(x,y,z)=\left(z-2y,x+3z,x{y}^2\right)$$
と、円柱面 $x^2+y^2=4$ と平面 $z=1+y$ の交わりとしてできる閉曲線 $C$ を考える。$C$ の向きは、$z$ 軸の正の側から見て反時計回りとする。ストークスの定理を用いて、線積分
$${\oint }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$$
の値を求めよ。

$xyz$ 空間の円錐面の一部
$$S=\left\{(x,y,z)|z=\sqrt{x^2+y^2},0\le z\le 2\right\}$$
を考える（$S$ は側面だけで、上の円板 $z=2,x^2+y^2\le 4$ は含まない）。$S$ の向きを、頂点 $(0,0,0)$ を除く各点で単位法線ベクトル $\mathbf{n}$ の $z$ 成分が正となるように定める（頂点では法線が定まらないが、1 点なので面積分の値には影響しない）。ベクトル場
$$\mathbf{F}(x,y,z)=\left(xz,y,z^2\right)$$
の $S$ を通る流束 $${\iint }_S\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}dS$$ を求めよ。

$xyz$ 空間のベクトル場
$$\mathbf{F}(x,y,z)=\left(yz+e^{x^2},3x+\sin (y^3),x^2+\log (1+z^2)\right)$$
と、3 点 $\mathrm{A}(1,0,0)$, $\mathrm{B}(0,2,0)$, $\mathrm{C}(0,0,3)$ を頂点とする三角形の周 $C$ を考える。$C$ の向きは $\mathrm{A}\to \mathrm{B}\to \mathrm{C}\to \mathrm{A}$ の順にたどる向きとする。線積分
$${\oint }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$$
の値を求めよ。

$xyz$ 空間のベクトル場
$$\mathbf{F}(x,y,z)=\left(e^y+z\cos x,x{e}^y+2yz,\sin x+y^2\right)$$
と、媒介変数表示された曲線
$$C:\mathbf{r}(t)=\left(\frac{\pi }{2}{t}^3,\log (1+t),2^t\right)(0\le t\le 1)$$
を考える。$C$ には $t$ が増加する向きに向きをつける。線積分
$${\int }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$$
の値を求めよ。

$xyz$ 空間のベクトル場
$$\mathbf{F}(x,y,z)=\left(2z+y^2,3x+\sin y,y+e^z\right)$$
と、球面 $x^2+y^2+z^2=9$ と平面 $x+2y+2z=0$ の交わりとしてできる円 $C$ を考える。$C$ には、点 $(1,2,2)$ の側から原点の方を見たときに反時計回りとなる向きをつける。線積分
$${\oint }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$$
の値を求めよ。

$xyz$ 空間のベクトル場
$$\mathbf{F}(x,y,z)=\left(x^3+y{e}^z,y^3+\sin (xz),z+x^2\right)$$
と、回転放物面の一部
$$S=\{(x,y,z)\mid z=1-x^2-y^2,z\ge 0\}$$
を考える。$S$ 上の単位法線ベクトル $\mathbf{n}$ を、$z$ 成分が正になる向き（上向き）にとるとき、面積分
$${\iint }_S\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}dS$$
の値を求めよ。

$D={\mathbb{R}}^2\setminus \{(0,0)\}$ とし、$D$ 上のベクトル場 $\mathbf{F}=(P,Q)$ を
$$P(x,y)=\frac{-y}{x^2+y^2},Q(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}$$
で定める。$D$ 上のすべての点で $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$ が成り立つが、$D$ 上の $C^1$ 級関数 $\phi$ で $D$ 上 $\nabla \phi =\mathbf{F}$（すなわち $\frac{\partial \phi }{\partial x}=P,\frac{\partial \phi }{\partial y}=Q$）をみたすものは存在しないことを証明せよ。ただし、曲線 $C:\mathbf{r}(t)(a\le t\le b)$ に沿う線積分は ${\int }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}={\int }_a^b\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot {\mathbf{r}}^{\prime }(t)dt$ で定める。

$S$ を ${\mathbb{R}}^3$ 内の向きの付いた区分的に滑らかな曲面とし、$\mathbf{n}$ をその単位法線ベクトルとする。$S$ の境界 $C$ は区分的に滑らかな単純閉曲線で、$\mathbf{n}$ に対して正の向き（右ねじの向き）に向きが付いているとする。すなわち、連続な写像 $\mathbf{r}:[a,b]\to {\mathbb{R}}^3$ と分点 $a=t_0<t_1<\cdots <t_N=b$ があって、$\mathbf{r}$ は各 $[t_{k-1},t_k]$ 上で $C^1$ 級、$\mathbf{r}(a)=\mathbf{r}(b)$ であり、$C$ はこの向きで $\mathbf{r}$ によりちょうど 1 周たどられるとする。$W$ を $S$ と $C$ を含む開集合とし、$f_1,g_1,f_2,g_2$ を $W$ 上の $C^2$ 級の実数値関数で、$C$ 上のすべての点で
$$f_1=f_2,g_1=g_2$$
をみたすものとする（$C$ の外では一致しなくてよい）。このとき
$${\iint }_S(\nabla f_1\times \nabla g_1)\cdot \mathbf{n}dS={\iint }_S(\nabla f_2\times \nabla g_2)\cdot \mathbf{n}dS$$
が成り立つことを証明せよ。ただし、$W$ 上の $C^1$ 級ベクトル場 $\mathbf{F}$ に対するストークスの定理
$${\oint }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\sum _{k=1}^N{\int }_{t_{k-1}}^{t_k}\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot {\mathbf{r}}^{\prime }(t)dt={\iint }_S(\nabla \times \mathbf{F})\cdot \mathbf{n}dS$$
（区間の端点での ${\mathbf{r}}^{\prime }$ は片側微分係数とする）、$C^2$ 級関数の 2 階偏導関数は微分の順序によらない（シュワルツの定理）こと、および合成関数の微分法（連鎖律）は用いてよい。回転は直交座標 $(x,y,z)$ で $\mathbf{A}=(A_1,A_2,A_3)$ に対し $\nabla \times \mathbf{A}=\left(\frac{\partial A_3}{\partial y}-\frac{\partial A_2}{\partial z},\frac{\partial A_1}{\partial z}-\frac{\partial A_3}{\partial x},\frac{\partial A_2}{\partial x}-\frac{\partial A_1}{\partial y}\right)$ で定める。

$xy$ 平面上の曲線 $C$ を、楕円 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$ のうち $y\ge 0$ の部分とし、点 $\mathrm{A}(2,0)$ から点 $\mathrm{B}(-2,0)$ へ向かう向きをつける。このとき、線積分
$$I={\int }_C\left(e^x\sin y-2y+x^2\right)dx+\left(e^x\cos y+x^3\right)dy$$
の値を求めよ。

$xy$ 平面から原点を除いた領域 $D={\mathbb{R}}^2\setminus \{(0,0)\}$ 上のベクトル場
$$\mathbf{F}(x,y)=\left(\frac{x-y}{x^2+y^2}+2xy,\frac{x+y}{x^2+y^2}+x^2\right)$$
と、媒介変数表示
$$C:(x,y)=\left((1+t)\cos \frac{8\pi t}{3},(1+t)\sin \frac{8\pi t}{3}\right)(0\le t\le 1)$$
で与えられる曲線 $C$ を考える。$C$ は $t$ が増加する向きに向きづけられている。線積分
$$I={\int }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}={\int }_C\left\{\left(\frac{x-y}{x^2+y^2}+2xy\right)dx+\left(\frac{x+y}{x^2+y^2}+x^2\right)dy\right\}$$
の値を求めよ。

$xyz$ 空間のベクトル場
$$\mathbf{F}(x,y,z)=\left(-y+e^x,x+x{z}^2,y+z^3\right)$$
と、円柱面 $x^2+y^2=4$ と曲面 $z=xy$ の交わりとしてできる閉曲線 $C$ を考える。$C$ の向きは、$z$ 軸の正の側から見て（$xy$ 平面への正射影が）反時計回りとなる向きとする。ストークスの定理を用いて、線積分
$$I={\oint }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$$
の値を求めよ。

$xyz$ 空間の原点を除いた領域で定義されたベクトル場
$$\mathbf{F}(x,y,z)=\frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}{|}^3}=\frac{(x,y,z)}{(x^2+y^2+z^2{)}^{3/2}}$$
と、平面 $z=2$ 上の長方形
$$S=\{(x,y,2)\mid 0\le x\le 1,0\le y\le 2\}$$
を考える。$S$ の単位法線ベクトル $\mathbf{n}$ を $z$ 軸の正の向き $\mathbf{n}=(0,0,1)$ にとるとき、$\mathbf{F}$ の $S$ を通る流束
$$\Phi ={\iint }_S\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}dS$$
を求めよ。

$xy$ 平面の原点を除いた領域 ${\mathbb{R}}^2\setminus \{(0,0)\}$ 上で、関数 $P,Q$ を
$$P(x,y)=-\frac{y}{x^2+4y^2}-x^{2}y+e^{x^2},Q(x,y)=\frac{x}{x^2+4y^2}+x{y}^2+\sin (y^2)$$
で定める。円 $C:(x-1{)}^2+y^2=4$ を反時計回りに 1 周する向きに向き付けるとき、線積分
$$I={\oint }_C\left(Pdx+Qdy\right)$$
の値を求めよ。

$z$ 軸を除いた空間 $D=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3\mid (x,y)\ne (0,0)\}$ 上のベクトル場
$$\mathbf{F}(x,y,z)=\left(yz-\frac{y}{x^2+y^2},xz+\frac{x}{x^2+y^2},xy+2z\right)$$
と、媒介変数表示された曲線
$$C:\mathbf{r}(t)=((2+\cos 3t)\cos 2t,(2+\cos 3t)\sin 2t,\sin 3t)\left(0\le t\le \frac{5\pi }{6}\right)$$
を考える。$C$ の向きは $t$ が増加する向きとする。線積分
$$I={\int }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$$
の値を求めよ。

$xyz$ 空間のスカラー場 $f$ とベクトル場 $\mathbf{G}$ を
$$f(x,y,z)=x^2+2y^2+3z^2,\mathbf{G}(x,y,z)=(y,z,x)$$
で定め、ベクトル場 $\mathbf{F}$ を
$$\mathbf{F}=\nabla f\times \mathbf{G}+f(\nabla \times \mathbf{G})$$
とする。球面 $x^2+y^2+z^2=4$ のうち $z\ge 1$ の部分を $S$ とし、$S$ 上の単位法線ベクトル $\mathbf{n}$ を外向き（原点から遠ざかる向き）にとる。面積分
$${\iint }_S\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}dS$$
の値を求めよ。

$\mathbf{r}=(x,y,z)$、$r=|\mathbf{r}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ とし、定ベクトル $\mathbf{a}=(1,-1,2)$ を用いて、${\mathbb{R}}^3\setminus \{0\}$ 上のベクトル場
$$\mathbf{A}(\mathbf{r})=\frac{\mathbf{a}\times \mathbf{r}}{r^3}$$
を定める。点 $\mathrm{P}(1,2,2)$ における $\mathrm{rot}\mathbf{A}$ の成分を $(x\text{成分},y\text{成分},z\text{成分})$ の組で求めよ。

$\mathbf{r}=(x,y,z)$、$r=|\mathbf{r}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ とし、定ベクトル $\mathbf{a}=(1,2,2)$ を用いる。$n,k$ を実数の定数として、${\mathbb{R}}^3\setminus \{0\}$ 上の関数
$$u(\mathbf{r})=r^n\left\{(\mathbf{a}\cdot \mathbf{r}{)}^2-k|\mathbf{a}{|}^2{r}^2\right\}$$
を考える。$n<0$ のとき、$u$ が ${\mathbb{R}}^3\setminus \{0\}$ 全体で $\nabla \cdot (\nabla u)=0$ を満たすような組 $(n,k)$ を求めよ。

$xyz$ 空間のベクトル場
$$\mathbf{F}(x,y,z)=\left(z^2-3y,2x+xz,y^2\right)$$
と、球面 $x^2+y^2+z^2=9$ と平面 $x+2y+2z=3$ の交わりとしてできる円 $C$ を考える。点 $(3,6,6)$ は $C$ 上の点ではなく、平面 $x+2y+2z=3$ の外にあって、平面から見て法線ベクトル $(1,2,2)$ の向きの側にある点である。$C$ の向きは、この点 $(3,6,6)$ から $C$ を見たときに反時計回りとなる向きとする。線積分
$${\oint }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$$
の値を求めよ。

$xyz$ 空間の関数
$$f(x,y,z)=(x^2+y^2+z^2{)}^2,g(x,y,z)=xy+yz+zx$$
を用いて、ベクトル場 $\mathbf{F}=\nabla f\times \nabla g$ を定める。点 $(1,2,3)$ における $\nabla \times \mathbf{F}$ を成分表示したものを $(p,q,r)$ とするとき、組 $(p,q,r)$ を求めよ。

$xy$ 平面上の曲線 $C$ を、媒介変数表示
$$C:(x,y)=(\sin 2t,\sin t)(0\le t\le \pi )$$
で定める。$C$ は原点を始点かつ終点とする区分的に滑らかな単純閉曲線であり、$t$ が増加する向きに向きをつける。ベクトル場
$$\mathbf{F}(x,y)=\left(e^{x^2}-x^{2}y,3xy+\log (1+y^2)\right)$$
について、線積分
$${\oint }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}={\oint }_C\left\{\left(e^{x^2}-x^{2}y\right)dx+\left(3xy+\log (1+y^2)\right)dy\right\}$$
の値を求めよ。

$xyz$ 空間のベクトル場
$$\mathbf{F}(x,y,z)=\left(xz+e^{y^2},yz+\sin x,z^2+x^2+y^2\right)$$
と、球面の一部
$$S=\{(x,y,z)\mid x^2+y^2+z^2=9,z\ge 1\}$$
を考える。$S$ の単位法線ベクトル $\mathbf{n}$ を原点から遠ざかる向き（球の外向き）にとるとき、面積分
$${\iint }_S\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}dS$$
の値を求めよ。

$z$ 軸を除いた空間 $\Omega =\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3\mid x^2+y^2>0\}$ 上のベクトル場
$$\mathbf{F}(x,y,z)=\left(2xz-\frac{y}{x^2+y^2},z+\frac{x}{x^2+y^2},x^2+y\right)$$
と、媒介変数表示された曲線
$$C:\mathbf{r}(t)=\left(\left(1+\frac{t}{\pi }\right)\cos t,\left(1+\frac{t}{\pi }\right)\sin t,\frac{t}{\pi }\right)\left(0\le t\le \frac{5\pi }{2}\right)$$
を考える。$C$ の向きは $t$ が増加する向きとする。線積分
$${\int }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$$
の値を求めよ。