ベクトル解析の問題

方針 成分ごとに偏微分せず、$r$ の関数の微分公式
$$\nabla r^n=n{r}^{n-2}\mathbf{r},\nabla \cdot \mathbf{r}=3$$
を使って $\nabla u$ と $\nabla \cdot (\nabla u)$ を順に求める。

手順 1：勾配 $n=4$ として
$$\nabla u=\nabla r^4=4r^2\mathbf{r}.$$

手順 2：発散 スカラー場 $\phi$ とベクトル場 $\mathbf{A}$ に対する積の公式 $\nabla \cdot (\phi \mathbf{A})=\nabla \phi \cdot \mathbf{A}+\phi \nabla \cdot \mathbf{A}$ を $\phi =4r^2$、$\mathbf{A}=\mathbf{r}$ に使う。$\nabla r^2=2\mathbf{r}$ より $\nabla (4r^2)=8\mathbf{r}$ だから
$$\nabla \cdot (4r^2\mathbf{r})=8\mathbf{r}\cdot \mathbf{r}+4r^2\cdot 3=8r^2+12r^2=20r^2.$$
これは公式 $\nabla \cdot (\nabla r^n)=n(n+1)r^{n-2}$ に $n=4$ を代入した $4\cdot 5r^2=20r^2$ と一致する。

手順 3：点での値 点 $(2,-1,2)$ では $r^2=2^2+(-1{)}^2+2^2=9$ なので
$${\nabla }^{2}u=20\times 9=180.$$

（確認）$s=x^2+y^2+z^2$ とおくと $u=s^2$ で、$\frac{\partial u}{\partial x}=4xs$、$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}=4s+8x^2$ となる。$y,z$ についても同様なので、和は $12s+8s=20s$ となり、$s=9$ で $180$ である。

$u=r^n$ のラプラシアンは ${\nabla }^2{r}^n=n(n+1)r^{n-2}$ である。$n=4$ なので ${\nabla }^{2}u=20r^2$。

導出：$\nabla u=4r^2\mathbf{r}$。$\nabla \cdot (4r^2\mathbf{r})=4(\nabla r^2\cdot \mathbf{r}+r^2\nabla \cdot \mathbf{r})=4(2\mathbf{r}\cdot \mathbf{r}+3r^2)=4(2r^2+3r^2)=20r^2$。

点 $(2,-1,2)$ では $r^2=4+1+4=9$ なので ${\nabla }^{2}u=20\cdot 9=180$。

検算：$u=(x^2+y^2+z^2{)}^2$ より $u_{xx}={\partial }_x(4x{r}^2)=4r^2+8x^2$。3成分の和は $12r^2+8r^2=20r^2$ で一致する。