位置ベクトルと r の関数の微分

$r = ∣ r ∣$ について $\nabla r^{n} = n r^{n - 2} r$ , $\nabla \cdot r = 3$ , $\nabla \cdot (\nabla r^{n}) = n (n + 1) r^{n - 2}$ などを使い、 $r$ を含む場の勾配・発散・ラプラシアンを求められる

前提

勾配・発散・回転（大学数学ベクトル解析）
多変数の連鎖律（大学数学微分積分）

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算数中学高校大学大学院

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行列式（大学数学線形代数）
空間ベクトルの外積（大学数学ベクトル解析）
勾配・発散・回転（大学数学ベクトル解析）
多変数の連鎖律（大学数学微分積分）

説明

原点から点 $(x, y, z)$ へ向かう位置ベクトル $r = (x, y, z)$ と、その長さ $r = ∣ r ∣ = x^{2} + y^{2} + z^{2}$ で書かれた場について、勾配・発散・ラプラシアンを求められるようになります。成分ごとに長い偏微分をする必要はありません。 $r^{n}$ や $\frac{r}{r ^{3}}$ のように原点のまわりで球対称な場は、重力・クーロン力・熱の拡散などに現れます。 $\nabla r^{n} = n r^{n - 2} r$ 、 $\nabla \cdot r = 3$ 、 $\nabla \cdot (\nabla r^{n}) = n (n + 1) r^{n - 2}$ の 3 つを使えば、こうした計算は数行で済みます。

なぜそうしてよいのか

出発点は $r^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2}$ です。 $r \neq = 0$ のとき両辺を $x$ で偏微分すると $2 r \frac{\partial r}{\partial x} = 2 x$ となるので、 $\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{x}{r}$ です。 $y, z$ についても同様です。したがって $r$ だけの関数 $f (r)$ には連鎖律が使えて、 $\frac{\partial f ( r )}{\partial x} = f^{'} (r) \frac{x}{r}$ となります。3 成分をまとめると $\nabla f (r) = \frac{f ^{'} ( r )}{r} r$ です。特に $f (r) = r^{n}$ なら $\nabla r^{n} = n r^{n - 1} \cdot \frac{r}{r} = n r^{n - 2} r$ です。

この式から、勾配はつねに $r$ に平行だとわかります。向きは $f^{'} (r)$ の符号で決まります。 $f^{'} (r) > 0$ なら外向き（ $r$ と同じ向き）、 $f^{'} (r) < 0$ なら内向き（原点向き）、 $f^{'} (r) = 0$ なら零ベクトルです。たとえば $\nabla \frac{1}{r} = - \frac{r}{r ^{3}}$ は原点を向きます。

発散については、まず $\nabla \cdot r = \frac{\partial x}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial z} = 3$ です。次に、スカラー場 $φ$ とベクトル場 $F = (F_{1}, F_{2}, F_{3})$ の積を考えます。各成分に積の微分を使うと $\frac{\partial ( φ F _{1} )}{\partial x} = \frac{\partial φ}{\partial x} F_{1} + φ \frac{\partial F _{1}}{\partial x}$ です。3 成分を足すと、 $\nabla \cdot (φ F) = \nabla φ \cdot F + φ \nabla \cdot F$ が得られます。ここで $φ = r^{m}$ 、 $F = r$ とし、 $r \cdot r = r^{2}$ を使うと次のようになります。 $\nabla \cdot (r^{m} r) = m r^{m - 2} r \cdot r + 3 r^{m} = (m + 3) r^{m}$

ラプラシアンは勾配の発散です。 $\nabla r^{n} = n r^{n - 2} r$ に上の式を $m = n - 2$ で使うと、 $\nabla \cdot (\nabla r^{n}) = n (n - 2 + 3) r^{n - 2} = n (n + 1) r^{n - 2}$ となります。係数が $n (n - 1)$ ではなく $n (n + 1)$ になるのは、 $\nabla \cdot r = 3$ という 3 次元の広がりの効果が加わるためです。なお、 $r = 0$ では $\frac{x}{r}$ が定義できません。そのため、これらの式は原点を除いた範囲（ $r \neq = 0$ ）で成り立ちます。

手順

座標を $r = (x, y, z)$ 、 $r = x^{2} + y^{2} + z^{2}$ とおき、原点を除く範囲 $r \neq = 0$ で考える。
場を $r^{n}$ や $r^{m} r$ の形（またはその和・定数倍）に書き直す。たとえば $\frac{r}{r ^{3}} = r^{- 3} r$ 、 $\frac{1}{r} = r^{- 1}$ とする。
勾配が必要なら $\nabla f (r) = \frac{f ^{'} ( r )}{r} r$ 、特に $\nabla r^{n} = n r^{n - 2} r$ を使う。
発散が必要なら、 $\nabla \cdot r = 3$ と、そこから導いた $\nabla \cdot (r^{m} r) = (m + 3) r^{m}$ を使う。
ラプラシアンが必要なら $\nabla \cdot (\nabla r^{n}) = n (n + 1) r^{n - 2}$ を使う。
点が指定されていれば、まずその点での $r$ を計算し、得られた式に代入する。

例題

$r = (x, y, z)$ 、 $r = ∣ r ∣$ とする。スカラー場 $u = r^{4}$ のラプラシアン $\nabla \cdot (\nabla u)$ の、点 $(1, 2, 2)$ における値を求めよ。

例題の解答

手順1： $r = (x, y, z)$ 、 $r = x^{2} + y^{2} + z^{2}$ とする。点 $(1, 2, 2)$ は原点ではないので、公式が使える。

手順2： $u = r^{4}$ はすでに $r^{n}$ の形で、 $n = 4$ である。

手順3：勾配は $\nabla r^{4} = 4 r^{2} r$ となる。

手順4・5：手順3の勾配に $\nabla \cdot (r^{m} r) = (m + 3) r^{m}$ を $m = 2$ で使うと、 $\nabla \cdot (\nabla r^{4}) = 4 \cdot (2 + 3) r^{2} = 20 r^{2}$ となる。これは、ラプラシアンの公式 $n (n + 1) r^{n - 2}$ に $n = 4$ を入れた $4 \cdot 5 r^{2}$ と一致する。

（確認） $r^{4} = (x^{2} + y^{2} + z^{2})^{2}$ を直接微分すると、 $\frac{\partial ^{2}}{\partial x ^{2}} r^{4} = \frac{\partial}{\partial x} {4 x (x^{2} + y^{2} + z^{2})} = 4 r^{2} + 8 x^{2}$ となる。 $y, z$ についても同様に計算して足すと $12 r^{2} + 8 (x^{2} + y^{2} + z^{2}) = 20 r^{2}$ となり、結果が一致する。

手順6：点 $(1, 2, 2)$ では $r = 1 + 4 + 4 = 3$ なので、求める値は $20 \cdot 3^{2} = 180$ である。

答え: $180$

よくある誤り

$\nabla \cdot r = 1$ としてしまう誤り。発散は 3 つの成分の偏微分の和なので、正しくは $\frac{\partial x}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial z} = 3$ である。
$r$ を 1 変数とみなして $\nabla r^{n} = n r^{n - 1}$ （スカラー）としてしまう誤り。勾配はベクトルなので、 $\nabla r = \frac{r}{r}$ を掛ける必要がある。正しくは $\nabla r^{n} = n r^{n - 1} \frac{r}{r} = n r^{n - 2} r$ である。 $n < 0$ のときは係数が負になり、勾配は原点を向く（例： $\nabla \frac{1}{r} = - \frac{r}{r ^{3}}$ ）。
ラプラシアンを $r$ についての 2 階微分 $\frac{d ^{2}}{d r ^{2}} r^{n} = n (n - 1) r^{n - 2}$ としてしまう誤り。発散をとるときに $\nabla \cdot r = 3$ の寄与が加わるので、正しくは $\nabla \cdot (\nabla r^{n}) = n (n + 1) r^{n - 2}$ である。一般の $f (r)$ では $\nabla \cdot (\nabla f (r)) = f^{''} (r) + \frac{2}{r} f^{'} (r)$ となる。
原点の扱いを忘れる誤り。たとえば $\nabla \cdot (\frac{r}{r ^{3}}) = (- 3 + 3) r^{- 3} = 0$ や $\nabla \cdot (\nabla \frac{1}{r}) = (- 1) \cdot 0 \cdot r^{- 3} = 0$ は、 $r \neq = 0$ でだけ成り立つ。 $r = 0$ では $\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{x}{r}$ 自体が定義されないので、これらの式は原点では使えない。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

ラプラシアンの基本解と放射関数の超関数ラプラシアン（大学院数学フーリエ解析）