ラプラシアンの基本解と放射関数の超関数ラプラシアン

グリーンの公式を使い、 $R^{3}$ で $Δ \frac{1}{∣ x ∣} = - 4 π δ$ を示せる。 $\frac{e ^{- k ∣ x ∣}}{∣ x ∣}$ のような放射関数の超関数ラプラシアンを、 $a u + cδ$ の形で求められる

前提

超関数と超関数の意味での微分（大学院数学フーリエ解析）
位置ベクトルと r の関数の微分（大学数学ベクトル解析）
ガウスの発散定理（大学数学ベクトル解析）

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算数中学高校大学大学院

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位置ベクトルと r の関数の微分（大学数学ベクトル解析）
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ガウスの発散定理（大学数学ベクトル解析）

説明

$R^{3}$ で $\frac{1}{∣ x ∣}$ は原点以外ではラプラシアンが $0$ ですが、超関数として見ると原点に $- 4 π δ$ という「点の湧き出し」が隠れています。この技能では、発散定理から導くグリーンの公式を使って $Δ \frac{1}{∣ x ∣} = - 4 π δ$ を示し、さらに $u (x) = \frac{f ( ∣ x ∣ )}{∣ x ∣}$ の形の放射関数（例 $\frac{e ^{- k ∣ x ∣}}{∣ x ∣}$ ）の超関数ラプラシアンを「原点の外での普通のラプラシアン」と「原点のデルタ」の和 $a u + cδ$ として求めます。ポアソン方程式 $Δ u = - 4 π ρ$ や湯川型方程式 $(Δ - k^{2}) u = - 4 π δ$ の基本解を扱うときの基礎です。

なぜそうしてよいのか

試験関数 $φ$ （何回でも微分でき、ある有界集合の外で $0$ になる関数）に対し、超関数ラプラシアンは偏微分を 2 回ずつ移して $⟨ Δ u, φ ⟩ = ⟨ u, Δ φ ⟩ = ∭ u Δ φ d V$ です（ $⟨ \partial_{i}^{2} u, φ ⟩ = (- 1)^{2} ⟨ u, \partial_{i}^{2} φ ⟩$ ）。 $u = \frac{f ( r )}{r}$ （ $r = ∣ x ∣$ 、 $f$ は $[0, \infty)$ で $C^{2}$ ）は $∭_{r < 1} \frac{d V}{r} = \int_{0}^{1} \frac{4 π r ^{2}}{r} d r = 2 π < \infty$ より局所可積分なので、この積分は $lim_{ε \to + 0} ∭_{r > ε}$ と書けます。原点を除いた領域では $u$ はなめらかなので、発散定理が使えます。

発散定理を $F = u \nabla φ - φ \nabla u$ に使うと、 $\nabla \cdot F = \nabla u \cdot \nabla φ + u Δ φ - \nabla φ \cdot \nabla u - φ Δ u = u Δ φ - φ Δ u$ なので、グリーンの公式
$∭_{V} (u Δ φ - φ Δ u) d V = \iint_{\partial V} (u \frac{\partial φ}{\partial n} - φ \frac{\partial u}{\partial n}) d S$
が得られます（ $\frac{\partial}{\partial n}$ は外向き法線方向の微分）。 $V = {ε < r < R}$ （ $φ$ は $r \geq R$ で $0$ ）にとると、外側の球面では $φ$ とその導関数が $0$ で寄与はなく、内側の球面 $r = ε$ では $V$ の外向き法線が原点向きなので $\frac{\partial}{\partial n} = - \frac{\partial}{\partial r}$ です。 $\frac{\partial u}{\partial r} = \frac{f ^{'} ( r )}{r} - \frac{f ( r )}{r ^{2}}$ 、面積は $4 π ε^{2}$ なので
$\iint_{r = ε} (- u \frac{\partial φ}{\partial r} + φ \frac{\partial u}{\partial r}) d S = O (ε) + (φ (0) + O (ε)) (\frac{f ^{'} ( ε )}{ε} - \frac{f ( ε )}{ε ^{2}}) 4 π ε^{2} ⟶ - 4 π f (0) φ (0)$
となります（ $φ$ の平均を使う部分は $∣ φ (x) - φ (0) ∣ \leq ε sup ∣\nabla φ ∣$ による）。

一方、 $r > 0$ での普通のラプラシアンは、 $\nabla g (r) = g^{'} (r) \frac{r}{r}$ と $\nabla \cdot r = 3$ から $Δ g (r) = g^{''} (r) + \frac{2}{r} g^{'} (r) = \frac{1}{r} (r g (r))^{''}$ なので、 $Δ u = \frac{f ^{''} ( r )}{r}$ です。これは局所可積分なので、 $ε \to + 0$ として
$⟨ Δ u, φ ⟩ = ∭ \frac{f ^{''} ( r )}{r} φ d V - 4 π f (0) φ (0), すなわち Δ \frac{f ( r )}{r} = \frac{f ^{''} ( r )}{r} - 4 π f (0) δ .$
$f \equiv 1$ なら $Δ \frac{1}{∣ x ∣} = - 4 π δ$ です。原点の外の「普通の部分」と、原点を囲む小球面から出る流束 $\iint_{r = ε} \nabla \frac{1}{r} \cdot \frac{r}{r} d S = - \frac{1}{ε ^{2}} \cdot 4 π ε^{2} = - 4 π$ が δ の係数になる、と理解できます。

手順

関数を $u = \frac{f ( r )}{r}$ （ $r = ∣ x ∣$ ）の形に書き、 $f$ が $r = 0$ までなめらかにつながることと $f (0)$ の値を確認する
原点以外で普通のラプラシアンを計算する: $Δ u = \frac{1}{r} (r u)^{''} = \frac{f ^{''} ( r )}{r}$ （または $Δ g = g^{''} + \frac{2}{r} g^{'}$ ）
原点のデルタの係数を求める: グリーンの公式で小球面 $r = ε$ の寄与を $ε \to + 0$ とし、 $c = - 4 π f (0)$ を得る
2 つを合わせて $Δ u = \frac{f ^{''} ( r )}{r} - 4 π f (0) δ$ と書き、 $\frac{f ^{''} ( r )}{r}$ を $u$ で表して $a u + cδ$ の形に整える

例題

$R^{3}$ で $u (x) = \frac{e ^{- 3∣ x ∣}}{∣ x ∣}$ とする。超関数の意味で $Δ u = a u + c δ$ となる定数の組 $(a, c)$ を求めよ。

例題の解答

手順 1: $r = ∣ x ∣$ とすると $u = \frac{f ( r )}{r}$ 、 $f (r) = e^{- 3 r}$ 。 $f$ は $r = 0$ までなめらかで $f (0) = 1$ 。

手順 2: $r > 0$ で $r u = e^{- 3 r}$ なので $(r u)^{''} = 9 e^{- 3 r}$ 、よって $Δ u = \frac{9 e ^{- 3 r}}{r} = 9 u$ 。

手順 3: グリーンの公式で $V = {ε < r < R}$ をとると、内側の球面からの寄与は
$\iint_{r = ε} (- u \frac{\partial φ}{\partial r} + φ \frac{\partial u}{\partial r}) d S, \frac{\partial u}{\partial r} = - \frac{3 e ^{- 3 r}}{r} - \frac{e ^{- 3 r}}{r ^{2}} .$
第 1 項は $\frac{e ^{- 3 ε}}{ε} \cdot 4 π ε^{2} \cdot sup ∣\nabla φ ∣ \to 0$ 、第 2 項は $φ (0) (- \frac{3 e ^{- 3 ε}}{ε} - \frac{e ^{- 3 ε}}{ε ^{2}}) 4 π ε^{2} \to - 4 π φ (0)$ 。よって $c = - 4 π f (0) = - 4 π$ 。

手順 4: $⟨ Δ u, φ ⟩ = ∭ 9 u φ d V - 4 π φ (0)$ 、すなわち $Δ u = 9 u - 4 π δ$ 。したがって $(a, c) = (9, - 4 π)$ 。（ $(Δ - 9) u = - 4 π δ$ で、 $u$ は湯川型方程式の基本解の定数倍になっている。）

答え: $(9, - 4 π)$

よくある誤り

原点以外で $Δ \frac{1}{r} = 0$ （ $\nabla \cdot \nabla r^{n} = n (n + 1) r^{n - 2}$ で $n = - 1$ ）だから、超関数としても $Δ \frac{1}{∣ x ∣} = 0$ としてしまう誤り。この公式は $r > 0$ でしか成り立たない。正しくは原点を囲む球面の流束が残り $Δ \frac{1}{∣ x ∣} = - 4 π δ$
内側の球面での法線の向きを外向き（ $+ \frac{\partial}{\partial r}$ ）にして $Δ \frac{1}{∣ x ∣} = + 4 π δ$ としてしまう誤り。領域 ${ε < r < R}$ の外向き法線は内側の球面では原点向きで $\frac{\partial}{\partial n} = - \frac{\partial}{\partial r}$ 。正しくは係数 $- 4 π$
δ の係数をいつも $- 4 π$ としてしまう誤り。係数は原点での $r u$ の値で決まり $c = - 4 π f (0)$ 。たとえば $u = \frac{1 - e ^{- k r}}{r}$ は $f (0) = 0$ なので $Δ u = - \frac{k ^{2} e ^{- k r}}{r}$ で δ は現れず、 $u = \frac{5 e ^{- k r}}{r}$ なら $c = - 20 π$
$Δ g (r)$ を 1 変数の $g^{''} (r)$ だけとしてしまう誤り（ $Δ \frac{e ^{- k r}}{r}$ を $(\frac{e ^{- k r}}{r})^{''}$ とする）。3 次元では $Δ g = g^{''} + \frac{2}{r} g^{'} = \frac{1}{r} (r g)^{''}$ で、正しくは原点の外で $Δ \frac{e ^{- k r}}{r} = \frac{k ^{2} e ^{- k r}}{r}$

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
$R^{3}$ 上の関数
$u (x) = \frac{cos ( 2∣ x ∣ )}{∣ x ∣} (x \neq = 0)$
（ $∣ x ∣$ はユークリッドノルム）は局所可積分であり、 $R^{3}$ 上の超関数とみなせる。超関数の意味でのラプラシアン $Δ u$ は、実数の定数 $a, c$ を用いて
$Δ u = a u + c δ$
と表される（ $δ$ は原点におけるディラックのデルタ）。組 $(a, c)$ を求めよ。

この技能を使う問題

難易度 3（大学院入試の専門科目の標準レベル）
$R^{3}$ 上の関数 $u (x) = \frac{e ^{- 2∣ x ∣}}{∣ x ∣}$ （ $∣ x ∣$ はユークリッドノルム）は局所可積分であり、 $R^{3}$ 上の超関数とみなせる。超関数の意味でのラプラシアン $Δ u$ が、実定数 $a, c$ を用いて
$Δ u = a u + c δ$
と表されるとき（ $δ$ は原点のディラックのデルタ）、組 $(a, c)$ を求めよ。

この技能の次に学べること

ヘルムホルツ方程式のグリーン関数（大学院物理物理数学（群論・グリーン関数・特殊関数））