フーリエ解析

区間 $[-\pi ,\pi ]$ 上の関数 $f,g$ を
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}0& (-\pi \le x<0)\\ 1& (0\le x\le \pi )\end{array},g(x)=x({\pi }^2-x^2)$$
で定める。複素フーリエ係数を
$$c_n=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-inx}dx,d_n=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }g(x)e^{-inx}dx(n\in \mathbb{Z})$$
とし、内積型のパーセバルの等式
$$\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\overline{g(x)}dx=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{c}_n\overline{d_n}$$
を用いて、無限級数
$$\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{(2k-1{)}^4}$$
の和を求めよ。

可積分関数 $f$ に対して、2 通りのフーリエ変換を
$$\hat{f}(\xi )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-ix\xi }dx,\mathcal{F}f(\xi )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\xi }dx(\xi \in \mathbb{R})$$
で定める。関数 $f(x)=e^{-|x|}$ $(x\in \mathbb{R})$ について、第 1 の規約では $\hat{f}(\xi )=\frac{2}{1+{\xi }^2}$ となることが知られている。このとき、第 2 の規約によるフーリエ変換 $\mathcal{F}f(\xi )$ を $\xi$ の式で求めよ。

$\mathcal{D}(\mathbb{R})=C_c^{\infty }(\mathbb{R})$ を試験関数の空間とし、ヘヴィサイド関数を $H(x)=\{\begin{array}{ll}1& (x>0)\\ 0& (x\le 0)\end{array}$ で定める。局所可積分関数
$$u(x)=|x|+3H(x)(x\in \mathbb{R})$$
を超関数 $⟨u,\phi ⟩={\int }_{-\infty }^{\infty }u(x)\phi (x)dx$ とみなし、その超関数の意味での 2 階導関数を $u^{\prime \prime }$ とする。試験関数 $\phi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ が $\phi (0)=2$, ${\phi }^{\prime }(0)=5$ を満たすとき、$⟨u^{\prime \prime },\phi ⟩$ の値を求めよ。

$N=4$ とし、$\omega =e^{2\pi i/4}=i$ とおく。数列 $x=(x_0,x_1,x_2,x_3)=(1,2,0,1)$ の離散フーリエ変換 $X=(X_0,X_1,X_2,X_3)$ を
$$X_k=\sum _{n=0}^3{x}_n{\omega }^{-nk}(k=0,1,2,3)$$
で定める。組 $(X_0,X_1,X_2,X_3)$ をこの順に求めよ。

$f\in L^1(\mathbb{R})\cap L^2(\mathbb{R})$ のフーリエ変換を
$$\hat{f}(\xi )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-ix\xi }dx$$
で定める。この規約では、$f,g\in L^1(\mathbb{R})\cap L^2(\mathbb{R})$ に対してプランシュレルの等式
$${\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)\overline{g(x)}dx=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\hat{f}(\xi )\overline{\hat{g}(\xi )}d\xi$$
が成り立つ。また、区間 $[-1,1]$ の指示関数 $1_{[-1,1]}$ と関数 $e^{-|x|}$ について
$$\widehat{1_{[-1,1]}}(\xi )=\frac{2\sin \xi }{\xi },\widehat{e^{-|x|}}(\xi )=\frac{2}{1+{\xi }^2}$$
である（$\xi =0$ では左の式の値は $2$ とする）。これらを用いて、広義積分
$$I={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{\sin \xi }{\xi (1+{\xi }^2)}d\xi$$
の値を求めよ。ただし被積分関数の $\xi =0$ での値は極限値 $1$ で補うものとする。

$\mathbb{R}$ 上の関数 $u$ を
$$u(x)=\{\begin{array}{ll}2\cos 3x+\sin 3x& (x>0)\\ 0& (x\le 0)\end{array}$$
で定め、$u$ を $\mathbb{R}$ 上の超関数とみなす。超関数の意味での導関数を用いると、実数 $a,b$ によって
$$u^{\prime \prime }+9u=a\delta +b{\delta }^{\prime }$$
と表される。ここで $\delta$ は原点におけるディラックのデルタ（$⟨\delta ,\phi ⟩=\phi (0)$）であり、${\delta }^{\prime }$ はその超関数の意味での導関数である。組 $(a,b)$ をこの順に求めよ。

$\mathbb{R}$ 上の局所可積分関数 $\log |x|$ を緩増加超関数とみなし、その超関数の意味での（$1$ 階の）導関数を $S=\frac{d}{dx}\log |x|$ とする。急減少関数
$$\phi (x)=(1+3x)e^{-x^2}$$
に対して、$⟨S,\phi ⟩$ の値を求めよ。ただし $\log$ は自然対数とし、${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }$ を用いてよい。

${\mathbb{R}}^3$ 上の関数
$$u(x)=\frac{\cos (2|x|)}{|x|}(x\ne 0)$$
（$|x|$ はユークリッドノルム）は局所可積分であり、${\mathbb{R}}^3$ 上の超関数とみなせる。超関数の意味でのラプラシアン $\Delta u$ は、実数の定数 $a,c$ を用いて
$$\Delta u=au+c\delta$$
と表される（$\delta$ は原点におけるディラックのデルタ）。組 $(a,c)$ を求めよ。

$N=8$ とし、$\omega =e^{2\pi i/8}$ とおく。数列 $x=(x_0,x_1,\dots ,x_7)\in {\mathbb{C}}^8$ を
$$x=(1,2,1,0,0,0,0,0)$$
で定め、その離散フーリエ変換を
$$X_k=\sum _{n=0}^7{x}_n{\omega }^{-nk}(k=0,1,\dots ,7)$$
とする。このとき
$$\sum _{k=0}^7|X_k{|}^4$$
の値を求めよ。

$i$ を虚数単位とする。複素数
$$S=\sum _{n=0}^{19}{e}^{-2\pi i{n}^2/20}$$
の値を求めよ。

$\mathbb{R}$ 上の関数 $h,f$ を
$$h(x)=\{\begin{array}{ll}1-|x|& (|x|\le 1)\\ 0& (|x|>1)\end{array},f(x)=e^{-x^2}$$
で定め、その畳み込みを
$$u(x)=(h\ast f)(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }h(y)f(x-y)dy$$
とする。$u$ は $\mathbb{R}$ 上で何回でも微分可能である。$u^{\prime \prime }(1)$ の値を求めよ。

急減少関数 $\phi \in \mathcal{S}(\mathbb{R})$ のフーリエ変換を
$$\hat{\phi }(\xi )={\int }_{-\infty }^{\infty }\phi (x)e^{-ix\xi }dx$$
で定め、緩増加超関数 $T\in {\mathcal{S}}^{\prime }(\mathbb{R})$ のフーリエ変換 $\hat{T}$ を $⟨\hat{T},\phi ⟩=⟨T,\hat{\phi }⟩$ $(\phi \in \mathcal{S}(\mathbb{R}))$ で定める。

多項式 $f(x)=3+2x$ を緩増加超関数とみなし、その フーリエ変換 $\hat{f}$ を $\phi (\xi )=e^{-(\xi -1{)}^2}$ に作用させた値 $⟨\hat{f},\phi ⟩$ を求めよ。ただし $i$ は虚数単位、$e$ は自然対数の底である。

$N=8$ とし、$\omega =e^{2\pi i/N}$ とおく。${\mathbb{C}}^N$ 上の線形写像 $F$ を、$x=(x_0,x_1,\dots ,x_{N-1})$ に対して
$$(Fx{)}_k=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum _{n=0}^{N-1}{x}_n{\omega }^{nk}(k=0,1,\dots ,N-1)$$
で定める（指数の符号が正であることに注意）。$F$ の固有値 $1,-1,i,-i$ の重複度をそれぞれ $m_1,m_{-1},m_i,m_{-i}$ とするとき、組 $(m_1,m_{-1},m_i,m_{-i})$ をこの順に求めよ。ただし重複度は代数的重複度とし、二次ガウス和 $G(N)={\sum }_{n=0}^{N-1}{e}^{2\pi i{n}^2/N}$ の値（$N\equiv 0(\mathrm{mod}4)$ なら $G(N)=(1+i)\sqrt{N}$）は用いてよい。

区間 $-\pi <x\le \pi$ で
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}0& (-\pi <x<0)\\ x& (0\le x\le \pi )\end{array}$$
と定め、これを周期 $2\pi$ で $\mathbb{R}$ 全体に拡張した関数を同じ記号 $f$ で表す。$f$ のフーリエ級数を
$$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos nx+b_n\sin nx\right),a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx,b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx$$
とする。区分的に $C^1$ 級の周期関数のフーリエ級数は各点 $x$ で $\frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}$ に収束することを用いてよい。このフーリエ級数に $x=\pi$ を代入することにより、無限級数
$$S=\sum _{m=0}^{\infty }\frac{1}{(2m+1{)}^2}$$
の値を求めよ。ただし $m$ は $0$ 以上の整数を動く。

$[-\pi ,\pi ]$ 上の関数 $f$ を $f(x)=x(\pi -|x|)$ で定める。$f$ のフーリエ級数とパーセバルの等式を用いて、級数
$$S=\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{(2k-1{)}^6}$$
の値を求めよ。

$\mathbb{R}$ 上の局所可積分関数 $\log |x|$ を緩増加超関数とみなし、その超関数の意味での $2$ 階導関数を $T=\frac{d^2}{d{x}^2}\log |x|$ とする。急減少関数 $\phi (x)=e^{-x^2}$ に対し、$⟨T,\phi ⟩$ の値を求めよ。

$2\pi$ 周期関数 $f(x)=|\sin x|$ の $[-\pi ,\pi ]$ におけるフーリエ級数を求め、パーセバルの等式を用いて、無限級数
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{(4n^2-1{)}^2}$$
の値を求めよ。

$f\in L^1(\mathbb{R})\cap L^2(\mathbb{R})$ のフーリエ変換を
$$\hat{f}(\xi )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-ix\xi }dx$$
で定める。このときパーセバルの等式 ${\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)\overline{g(x)}dx=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\hat{f}(\xi )\overline{\hat{g}(\xi )}d\xi$ が成り立つ。これを用いて、積分
$${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{\sin 2\xi }{\xi (1+{\xi }^2)}d\xi$$
の値を求めよ。

$f\in L^1(\mathbb{R})$ のフーリエ変換を
$$\hat{f}(\xi )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-ix\xi }dx$$
で定める。区間 $[-2,2]$ の指示関数 $f={\chi }_{[-2,2]}$ と $g(x)=e^{-|x|}$ のフーリエ変換を計算し、プランシュレルの等式（内積の形）を用いて、広義積分
$$I={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{\sin 2x}{x(1+x^2)}dx$$
の値を求めよ。ただし被積分関数の $x=0$ での値は極限値 $2$ で補うものとする。

$\mathbb{R}$ 上の関数 $u$ を $$u(x)=\{\begin{array}{ll}1-x^2& (|x|\le 1)\\ 0& (|x|>1)\end{array}$$ で定め、$u$ を $\mathbb{R}$ 上の超関数とみなす。$T=u^{\prime \prime }$ を $u$ の超関数の意味での $2$ 階導関数とし、$g(x)=x^4$ とおく。$T$ はコンパクトな台をもつ超関数であるから、畳み込み $$(T\ast g)(x)=⟨T_y,g(x-y)⟩(x\in \mathbb{R})$$ が定義される。$(T\ast g)(x)$ を $x$ の式で求めよ。

$[-\pi ,\pi ]$ 上の関数 $f(x)=\cos \frac{x}{3}$ を周期 $2\pi$ で $\mathbb{R}$ 全体に拡張した関数（同じ記号 $f$ で表す）のフーリエ級数 $$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos nx+b_n\sin nx\right),a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx,b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx$$ を求め、それを $x=\pi$ で考えることにより、無限級数 $$S=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{9n^2-1}$$ の値を求めよ。

$f\in L^1(\mathbb{R})\cap L^2(\mathbb{R})$ のフーリエ変換を $$\hat{f}(\xi )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-ix\xi }dx$$ で定める。関数 $f(x)=x{e}^{-|x|}$ のフーリエ変換 $\hat{f}$ を求め、プランシュレルの等式を用いて、広義積分 $$I={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{{\xi }^2}{(1+{\xi }^2{)}^4}d\xi$$ の値を求めよ。

$N$ を $2$ 以上の整数とし、$\omega =e^{2\pi i/N}$ とおく。$x=(x_0,x_1,\dots ,x_{N-1})\in {\mathbb{C}}^N$ の離散フーリエ変換 $X=(X_0,X_1,\dots ,X_{N-1})$ を
$$X_k=\sum _{n=0}^{N-1}{x}_n{\omega }^{-nk}(k=0,1,\dots ,N-1)$$
で定める。このとき、パーセバルの等式
$$\sum _{k=0}^{N-1}|X_k{|}^2=N\sum _{n=0}^{N-1}|x_n{|}^2$$
が成り立つ。$x_n=n(n=0,1,\dots ,N-1)$ で定まるベクトル $x$ の離散フーリエ変換を計算し、パーセバルの等式を用いて、和
$$S_N=\sum _{k=1}^{N-1}\frac{1}{{\sin }^2\frac{\pi k}{N}}$$
を $N$ の式で表せ。

$f\in L^1(\mathbb{R})\cap L^2(\mathbb{R})$ に対し、フーリエ変換を $\hat{f}(\xi )={\int }_{\mathbb{R}}f(x)e^{-ix\xi }dx$ で定める。次の事実（プランシュレルの定理）は用いてよい。

（事実）$L^1(\mathbb{R})\cap L^2(\mathbb{R})$ は $L^2(\mathbb{R})$ で稠密であり、$f\mapsto \hat{f}$ は $L^2(\mathbb{R})$ 全体から $L^2(\mathbb{R})$ への線形写像に一意的に連続拡張される（拡張したものも $\hat{f}$ と書く）。この拡張は任意の $f\in L^2(\mathbb{R})$ に対して $\Vert \hat{f}{\Vert }_2^2=2\pi \Vert f{\Vert }_2^2$ を満たす。ここで $\Vert g{\Vert }_2={\left({\int }_{\mathbb{R}}|g{|}^2\right)}^{1/2}$ である。

$f\in L^2(\mathbb{R})$ と実数 $h$ に対して $f_h(x)=f(x+h)$ とおく。このとき、すべての $h\in \mathbb{R}$ について
$${\int }_{\mathbb{R}}|f(x+h)-f(x){|}^{2}dx=\frac{1}{2\pi }{\int }_{\mathbb{R}}|e^{ih\xi }-1{|}^2|\hat{f}(\xi ){|}^{2}d\xi$$
が成り立ち、特に $\underset{h\to 0}{\lim }\Vert f_h-f{\Vert }_2=0$ であることを証明せよ。

$\mathbb{R}$ 上の関数 $f,g$ を
$$f(x)=|x|e^{-|x|},g(x)={\chi }_{[0,1]}(x)=\{\begin{array}{ll}1& (0\le x\le 1)\\ 0& (\text{otherwise})\end{array}$$
で定め、その畳み込みを
$$u(x)=(f\ast g)(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x-y)g(y)dy$$
とする。$u$ を $\mathbb{R}$ 上の緩増加超関数とみなし、超関数の意味での微分を用いて
$$T={\left(\frac{d^2}{d{x}^2}-1\right)}^{2}u=u^{\prime \prime \prime \prime }-2u^{\prime \prime }+u$$
とおく。急減少関数 $\phi (x)=x{e}^{-x^2}$ に対して $⟨T,\phi ⟩$ の値を求めよ。ただし超関数 $S$ の微分は $⟨S^{\prime },\phi ⟩=-⟨S,{\phi }^{\prime }⟩$ で定め、局所可積分関数 $h$ と同一視される超関数は $⟨h,\phi ⟩={\int }_{-\infty }^{\infty }h(x)\phi (x)dx$ で作用するものとする。

無限級数
$$S=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{{\sin }^{2}n{\sin }^2(2n)}{n^4}$$
の値を求めよ。ただし $\sin$ の引数は弧度法で表したものとする。

（方針の指定）$[-\pi ,\pi ]$ 上で区間 $[-1,1]$ の指示関数と区間 $[-2,2]$ の指示関数をそれぞれ考え、$2\pi$ 周期的に拡張する。それらの周期的畳み込みのフーリエ係数を求め、パーセバルの等式を用いて求めること。

$N=7$ とし、$\omega =e^{2\pi i/7}$ とおく。数列 $c=(c_0,c_1,\dots ,c_6)=(3,1,0,0,0,0,1)$ に対し、$7$ 次正方行列 $C=(C_{jk}{)}_{0\le j,k\le 6}$ を
$$C_{jk}=c_{(k-j)\mathrm{mod}7}$$
で定める（巡回行列）。すなわち $C$ は、対角成分がすべて $3$ で、$(j,j\pm 1)$ 成分（添字は $7$ を法として考える）がすべて $1$、それ以外の成分が $0$ の行列である。離散フーリエ変換を用いて $C$ の固有値を求めることにより、行列式 $\det C$ の値を求めよ。

$N=7$ とし、$\omega =e^{2\pi i/7}$ とおく。数列 $x=(x_0,x_1,\dots ,x_6)\in {\mathbb{C}}^7$ の離散フーリエ変換 $X=(X_0,X_1,\dots ,X_6)$ を
$$X_k=\sum _{n=0}^6{x}_n{\omega }^{-nk}(k=0,1,\dots ,6)$$
で定める。
$$x=(1,2,3,0,0,0,0)$$
のとき、
$$S=\sum _{k=0}^6|X_k{|}^4$$
の値を求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ 上の関数 $u(x)=\frac{e^{-2|x|}}{|x|}$（$|x|$ はユークリッドノルム）は局所可積分であり、${\mathbb{R}}^3$ 上の超関数とみなせる。超関数の意味でのラプラシアン $\Delta u$ が、実定数 $a,c$ を用いて
$$\Delta u=au+c\delta$$
と表されるとき（$\delta$ は原点のディラックのデルタ）、組 $(a,c)$ を求めよ。

広義積分
$$I={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{{\sin }^{2}x}{x^2(1+x^2)}dx$$
の値を、フーリエ変換とパーセバルの等式を用いて求めよ。ただし被積分関数の $x=0$ での値は極限値 $1$ で補うものとする。

実数直線 $\mathbb{R}$ 上の関数 $u$ を
$$u(x)=\{\begin{array}{ll}(x+2)e^{-x}& (x>0)\\ 0& (x\le 0)\end{array}$$
で定め、$u$ を $\mathbb{R}$ 上の超関数とみなす。超関数の意味での微分を用いて $w=u^{\prime \prime }+2u^{\prime }+u$ とおき、$g(x)=e^{-x^2}$ とする。畳み込み $w\ast g$ は $\mathbb{R}$ 上の $C^{\infty }$ 級関数である。その $x=1$ における値 $(w\ast g)(1)$ を求めよ。

$N=12$ とし、$\omega =e^{2\pi i/N}$ とおく。長さ $N$ の数列 $x=(x_0,x_1,\dots ,x_{N-1})$ を $x_n=n(n=0,1,\dots ,N-1)$ で定め、その離散フーリエ変換を
$$X_k=\sum _{n=0}^{N-1}{x}_n{\omega }^{-nk}(k=0,1,\dots ,N-1)$$
で定める。このとき
$$S=\sum _{k=1}^{N-1}|X_k{|}^4$$
の値を求めよ。

$\mathbb{R}$ 上の関数 $f,g$ を $f(x)=|x|$, $g(x)=e^{-2|x|}$ で定め、その畳み込み
$$u(x)=(f\ast g)(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }|x-y|e^{-2|y|}dy(x\in \mathbb{R})$$
を考える。$f,g$ を $\mathbb{R}$ 上の超関数とみなし、超関数の意味での微分を用いて、実数 $x$ に対する $u(x)$ を $x$ の式で表せ。

$N=16$ とし、$\omega =e^{2\pi i/N}$ とおく。長さ $N$ の数列 $x=(x_0,x_1,\dots ,x_{15})$ を
$$x_n=\{\begin{array}{ll}1& (n=0,1,2,3)\\ 0& (n=4,5,\dots ,15)\end{array}$$
で定め、その離散フーリエ変換を
$$X_k=\sum _{n=0}^{15}{x}_n{\omega }^{-nk}(k=0,1,\dots ,15)$$
で定める。このとき
$$S=\sum _{k=0}^{15}|X_k{|}^4$$
の値を求めよ。

$N=10$ とし、$\omega =e^{2\pi i/N}$ とおく。$N$ 次正方行列 $U=(u_{jk}{)}_{0\le j,k\le N-1}$ を
$$u_{jk}=\frac{1}{\sqrt{N}}{\omega }^{-jk}(j,k=0,1,\dots ,N-1)$$
で定める（正規化された離散フーリエ変換の行列）。$U^4$ は単位行列になるので、$U$ の固有値は $1,-1,i,-i$ のいずれかである。固有値 $1,-1,i,-i$ の重複度（代数的重複度）を、この順に組で求めよ。

$f\in L^1(\mathbb{R})\cap L^2(\mathbb{R})$ のフーリエ変換を $$\hat{f}(\xi )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-ix\xi }dx$$ で定める。区間 $[-a,a]$ の定義関数を ${\chi }_a$（$|x|\le a$ で $1$、それ以外で $0$）とし、$h={\chi }_1\ast {\chi }_1$（畳み込み）とおく。$h$ と ${\chi }_{1/2}$ のフーリエ変換を求め、プランシュレルの等式（内積の形）を用いて、広義積分 $$I={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{{\sin }^{2}x\sin \frac{x}{2}}{x^3}dx$$ の値を求めよ。ただし被積分関数の $x=0$ での値は極限値 $\frac{1}{2}$ で補うものとする。

区間 $[0,1]$ の指示関数を $\chi ={\chi }_{[0,1]}$ とし、$\mathbb{R}$ 上の関数 $u$ を $3$ 重の畳み込み
$$u=\chi \ast \chi \ast \chi ,(f\ast g)(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x-y)g(y)dy$$
で定める。$u$ を $\mathbb{R}$ 上の超関数とみなし、その超関数の意味での $2$ 階導関数を $T=u^{\prime \prime }$ とする。$T$ はコンパクトな台をもつので、任意の $C^{\infty }$ 級関数 $\phi$ に対して $⟨T,\phi ⟩={\int }_{-\infty }^{\infty }u(x){\phi }^{\prime \prime }(x)dx$ が定まる。$\phi (x)=e^{2x}$ のとき、$⟨T,\phi ⟩$ の値を求めよ。

$f\in L^1(\mathbb{R})\cap L^2(\mathbb{R})$ に対し、フーリエ変換を
$$\hat{f}(\xi )={\int }_{\mathbb{R}}f(x)e^{-ix\xi }dx(\xi \in \mathbb{R})$$
で定め、これを $L^2(\mathbb{R})$ 全体へ連続に拡張したもの（プランシュレル変換）も $\hat{f}$ と書く。次の事実は用いてよい。

• （プランシュレルの定理）任意の $f\in L^2(\mathbb{R})$ に対して ${\int }_{\mathbb{R}}|\hat{f}(\xi ){|}^{2}d\xi =2\pi {\int }_{\mathbb{R}}|f(x){|}^{2}dx$ が成り立ち、$f\mapsto \hat{f}$ は $L^2(\mathbb{R})$ から $L^2(\mathbb{R})$ への全単射である。さらに、$\hat{f}\in L^1(\mathbb{R})\cap L^2(\mathbb{R})$ ならば、ほとんどすべての $x\in \mathbb{R}$ で $f(x)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{\mathbb{R}}\hat{f}(\xi )e^{ix\xi }d\xi$ が成り立つ。
• ${\left\{\frac{e^{in\xi }}{\sqrt{2\pi }}\right\}}_{n\in \mathbb{Z}}$ は $L^2([-\pi ,\pi ])$ の完全正規直交系である。

いま、$f$ は $\mathbb{R}$ 上の複素数値連続関数で $f\in L^2(\mathbb{R})$ を満たし、さらにそのフーリエ変換 $\hat{f}$ は $[-\pi ,\pi ]$ の外でほとんど至るところ $0$ であるとする。このとき
$${\int }_{\mathbb{R}}|f(x){|}^{2}dx=\sum _{n\in \mathbb{Z}}|f(n){|}^2$$
が成り立つ（右辺の級数は収束する）ことを証明せよ。

$E(x)=\frac{1}{2}{e}^{-|x|}$ $(x\in \mathbb{R})$ とおき、$f\in L^1(\mathbb{R})$ に対して畳み込み
$$u(x)=(E\ast f)(x)={\int }_{\mathbb{R}}E(x-y)f(y)dy$$
を考える。$\mathcal{D}(\mathbb{R})=C_c^{\infty }(\mathbb{R})$ を試験関数の空間とし、局所可積分関数 $v$ は超関数 $⟨v,\phi ⟩={\int }_{\mathbb{R}}v(x)\phi (x)dx$ と同一視する。超関数 $T$ の微分は $⟨T^{\prime },\phi ⟩=-⟨T,{\phi }^{\prime }⟩$ で定める（したがって $⟨T^{\prime \prime },\phi ⟩=⟨T,{\phi }^{\prime \prime }⟩$）。

このとき、$u(x)$ はほとんどすべての $x$ で絶対収束する積分として定まって $u\in L^1(\mathbb{R})$ となり、さらに超関数の意味で
$$-u^{\prime \prime }+u=f({\mathcal{D}}^{\prime }(\mathbb{R})\text{ において})$$
が成り立つことを証明せよ。ルベーグ積分の基本定理（フビニ・トネリの定理など）は用いてよい。

$f:\mathbb{R}\to \mathbb{C}$ を周期 $2\pi$ の $C^1$ 級関数とし、
$${\int }_0^{2\pi }f(t)dt=0$$
を満たすとする。整数 $n$ に対して $f$ のフーリエ係数を $c_n=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }f(t)e^{-int}dt$ で定める。

このとき、すべての実数 $x$ に対して
$$|f(x){|}^2\le \frac{\pi }{6}{\int }_0^{2\pi }|f^{\prime }(t){|}^{2}dt$$
が成り立つことを証明せよ。

ただし、次の事実は証明なしに用いてよい。
- 周期 $2\pi$ の連続関数 $g$ とそのフーリエ係数 $d_n=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }g(t)e^{-int}dt$ について、パーセバルの等式 $\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }|g(t){|}^{2}dt=\sum _{n\in \mathbb{Z}}|d_n{|}^2$ が成り立つ。
- 周期 $2\pi$ の $C^1$ 級関数 $f$ について、すべての実数 $x$ で $f(x)=\underset{M\to \infty }{\lim }\sum _{n=-M}^M{c}_n{e}^{inx}$ が成り立つ。
- $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$。

$N=10$ とし、${\mathbb{C}}^N$ の元の添字は $\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$ の元とみなす（$x_{n+N}=x_n$）。$x,y\in {\mathbb{C}}^N$ の巡回畳み込みを
$$(x\ast y{)}_n=\sum _{m=0}^{N-1}{x}_m{y}_{n-m}(n=0,1,\dots ,N-1)$$
で定める。$a\in {\mathbb{C}}^N$ を
$$a_0=3,a_1=a_{N-1}=1,a_n=0(2\le n\le N-2)$$
で定め、$e\in {\mathbb{C}}^N$ を $e_0=1,e_n=0(1\le n\le N-1)$ で定める。方程式 $a\ast x=e$ はただ一つの解 $x\in {\mathbb{C}}^N$ をもつ。その成分 $x_0$ の値を求めよ。

$f\in L^1(\mathbb{R})$ のフーリエ変換を
$$\hat{f}(\xi )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-ix\xi }dx$$
で定め、これを $L^2(\mathbb{R})$ 上のフーリエ・プランシュレル変換に拡張する。このとき、$f,g\in L^2(\mathbb{R})$ に対してパーセバルの等式
$${\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)\overline{g(x)}dx=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\hat{f}(\xi )\overline{\hat{g}(\xi )}d\xi$$
が成り立つ。

$g(x)=\frac{1}{\cosh x}$ のフーリエ変換 $\hat{g}$ を求め、パーセバルの等式を用いて、広義積分
$$I={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{\sin x}{x\cosh x}dx$$
の値を求めよ。ただし、被積分関数の $x=0$ での値は極限値 $1$ で補うものとする。答えは $\arctan$ と $e$ と $\pi$ を用いた閉じた形で表せ。

広義積分
$$I={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{(\sin x-x\cos x{)}^2}{x^6}dx$$
の値を求めよ。ただし被積分関数の $x=0$ での値は極限値 $\frac{1}{9}$ で補うものとする。

$\mathbb{R}$ 上の関数 $h,f$ を
$$h(x)=|x|e^{-|x|},f(x)=e^{-|x|}$$
で定める。$h$ を $\mathbb{R}$ 上の超関数とみなし、その超関数の意味での $2$ 階導関数を $T=h^{\prime \prime }$ とする。$T$ と $f$ の畳み込み $T\ast f$ は $\mathbb{R}$ 上の連続関数として表される。$x\ge 0$ における $(T\ast f)(x)$ を $x$ の式で求めよ。

$N=15$ とし、$\omega =e^{2\pi i/N}$ とおく。${\mathbb{C}}^N$ 上の線形写像 $F$ を、$x=(x_0,x_1,\dots ,x_{N-1})$ に対して $$(Fx{)}_k=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum _{n=0}^{N-1}{x}_n{\omega }^{-kn}(k=0,1,\dots ,N-1)$$ で定める（正規化した離散フーリエ変換）。$F$ の固有値は $1,-1,i,-i$ のいずれかである。固有値 $1,-1,i,-i$ の重複度（固有空間の次元）を $(m_1,m_{-1},m_i,m_{-i})$ の組としてこの順に求めよ。ただし $i$ は虚数単位である。

$a$ を整数でない実数とする。次の事実は用いてよい。

（事実）$F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ が周期 $2\pi$ の連続関数で、区間 $[-\pi ,\pi ]$ を有限個の閉区間に分けると各閉区間上で $C^1$ 級（端点では片側微分係数を考える）であるとき、$F$ のフーリエ級数
$$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos nx+b_n\sin nx\right),a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }F(x)\cos nxdx,b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }F(x)\sin nxdx$$
はすべての $x\in \mathbb{R}$ で $F(x)$ に収束する。

このとき、関数 $x\mapsto \cos ax$ $(-\pi \le x\le \pi )$ のフーリエ級数を用いて、級数 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{2a}{a^2-n^2}$ が収束し、
$$\pi \cot \pi a=\frac{1}{a}+\sum _{n=1}^{\infty }\frac{2a}{a^2-n^2}$$
が成り立つことを証明せよ。