フーリエ解析の問題

1. 巡回行列の固有値（離散フーリエ変換による対角化）

$m=0,1,\dots ,6$ に対し、ベクトル $v^{(m)}\in {\mathbb{C}}^7$ を $v_j^{(m)}={\omega }^{jm}$ で定める。添字を $7$ を法として扱い $l=k-j$ とおくと、
$$(C{v}^{(m)}{)}_j=\sum _{k=0}^6{c}_{(k-j)\mathrm{mod}7}{\omega }^{km}={\omega }^{jm}\sum _{l=0}^6{c}_l{\omega }^{lm}={\lambda }_m{v}_j^{(m)}$$
となる（${\omega }^7=1$ なので $l$ を $7$ を法として取り替えてよい）。ここで
$${\lambda }_m=\sum _{l=0}^6{c}_l{\omega }^{lm}=3+{\omega }^m+{\omega }^{6m}=3+{\omega }^m+{\omega }^{-m}=3+2\cos \frac{2\pi m}{7}$$
である。$v^{(0)},\dots ,v^{(6)}$ を並べた行列は離散フーリエ変換の行列（$1,\omega ,\dots ,{\omega }^6$ が相異なるのでヴァンデルモンド行列として正則）であるから、これらは一次独立である。よって $C$ は対角化可能で、固有値は ${\lambda }_0,\dots ,{\lambda }_6$ であり、
$$\det C=\prod _{m=0}^6\left(3+{\omega }^m+{\omega }^{-m}\right).$$

2. 積の計算

$t=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$ とおくと $t+t^{-1}=3$ である。このとき
$$3+{\omega }^m+{\omega }^{-m}=t+t^{-1}+{\omega }^m+{\omega }^{-m}=t^{-1}(t+{\omega }^m)(t+{\omega }^{-m})$$
が成り立つ（右辺を展開すると $t^{-1}(t^2+t{\omega }^m+t{\omega }^{-m}+1)$ となる）。$m$ が $0,\dots ,6$ を動くとき $-m$ も $7$ を法として $0,\dots ,6$ を動くので、
$$\det C=t^{-7}{\left(\prod _{m=0}^6(t+{\omega }^m)\right)}^2.$$
$7$ は奇数なので、$-{\omega }^m(m=0,\dots ,6)$ は $z^7=-1$ の $7$ 個の根すべてである。したがって ${\prod }_m(t+{\omega }^m)={\prod }_m(t-(-{\omega }^m))=t^7+1$ であり、
$$\det C=t^{-7}(t^7+1{)}^2=t^7+2+t^{-7}.$$

3. $s_n=t^n+t^{-n}$ の計算

$s_{n+1}=(t+t^{-1})s_n-s_{n-1}=3s_n-s_{n-1}$ が成り立ち、$s_0=2,s_1=3$ である。順に計算すると
$$s_2=7,s_3=18,s_4=47,s_5=123,s_6=322,s_7=3\cdot 322-123=843.$$
よって
$$\det C=843+2=845.$$

（検算：$N=3$ の同じ型の行列 $\left(\begin{array}{ccc}3& 1& 1\\ 1& 3& 1\\ 1& 1& 3\end{array}\right)$ では、固有値が $5,2,2$ なので行列式は $20$ である。一方、公式 $s_3+2=18+2=20$ とも一致する。）

$C$ は巡回行列なので、固有ベクトルは $v_m=(1,{\omega }^m,\dots ,{\omega }^{6m}{)}^T$ で、固有値は ${\lambda }_m={\sum }_k{c}_k{\omega }^{mk}=3+{\omega }^m+{\omega }^{-m}=3+2\cos (2\pi m/7)$ $(m=0,\dots ,6)$ である。したがって $\det C={\prod }_{m=0}^6{\lambda }_m$。

$m=0$ のとき ${\lambda }_0=5$。

$m=1,\dots ,6$ のとき、${\lambda }_m={\omega }^{-m}({\omega }^{2m}+3{\omega }^m+1)$ と書ける。${\prod }_{m=1}^6{\omega }^{-m}={\omega }^{-21}=1$ である。

$x^2+3x+1=(x-r_1)(x-r_2)$ とおく。$r_1+r_2=-3$、$r_1{r}_2=1$ である。${\Phi }_7(x)={\prod }_{m=1}^6(x-{\omega }^m)$ を使うと、${\prod }_{m=1}^6({\omega }^m-r_i)={\Phi }_7(r_i)$（6 個の積なので符号は変わらない）。よって
$$\prod _{m=1}^6{\lambda }_m={\Phi }_7(r_1){\Phi }_7(r_2)=\frac{(r_1^7-1)(r_2^7-1)}{(r_1-1)(r_2-1)}.$$

分母は $r_1{r}_2-(r_1+r_2)+1=1+3+1=5$。

分子は $r_1{r}_2=1$ より $2-(r_1^7+r_2^7)$。$r_1=-{\phi }^2$、$r_2=-{\phi }^{-2}$（$\phi =(1+\sqrt{5})/2$）なので $r_1^7+r_2^7=-({\phi }^{14}+{\phi }^{-14})=-L_{14}=-843$（$L_n$ はリュカ数）。分子は $2+843=845$。

ゆえに ${\prod }_{m=1}^6{\lambda }_m=845/5=169$。

$\det C=5\cdot 169=845$。

検算：$169=13^2$ で、${\prod }_{m=1}^3(3+2\cos (2\pi m/7))=13$ となる。$\cos (2\pi /7)\approx 0.6235$、$\cos (4\pi /7)\approx -0.2225$、$\cos (6\pi /7)\approx -0.9010$ より ${\lambda }_1\approx 4.247$、${\lambda }_2\approx 2.555$、${\lambda }_3\approx 1.198$。積は $4.247\times 2.555\times 1.198\approx 13.0$ となり、一致する。