（等差）×（等比）の数列の和

$S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} k \cdot 3^{k - 1}$ のような和を、 $S_{n} - r S_{n}$ を計算して等比数列の和に帰着させて求められる

前提

等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）

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算数中学高校大学大学院

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等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）

説明

一般項が「等差数列の項」と「等比数列の項」の積になっている数列、たとえば $S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} k \cdot 3^{k - 1}$ の和を求められるようになります。このような和は $\sum k$ や等比数列の和の公式をそのまま使っても計算できません。そこで、 $S_{n}$ と、 $S_{n}$ に公比 $r$ を掛けた $r S_{n}$ との差を計算します。こうすると等比数列の和に書き直せて、和が求まります。

なぜそうしてよいのか

例として $S_{n} = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 3^{2} + \dots + n \cdot 3^{n - 1}$ を考えます。両辺に公比 $3$ を掛けると $3 S_{n} = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 3^{2} + \dots + (n - 1) \cdot 3^{n - 1} + n \cdot 3^{n}$ となり、各項が「1 つ右」にずれます。2 つの式を、 $3$ の同じ累乗どうしが上下にそろうように並べて引きます。すると $3^{k - 1}$ の係数は $k - (k - 1) = 1$ になります。この $1$ は等差数列 $1, 2, 3, \dots$ の公差です。

その結果 $S_{n} - 3 S_{n} = 1 + 3 + 3^{2} + \dots + 3^{n - 1} - n \cdot 3^{n}$ となります。右辺の先頭部分は、すでに計算できる等比数列の和です。一般に、等差数列の部分は引き算で公差 $d$ という定数に変わり、残るのは「 $d \times$ (等比数列の和)」と、両端にはみ出した項だけになります。

最後に、左辺 $(1 - r) S_{n}$ を $1 - r$ で割れば $S_{n}$ が求まります。このため、公比が $r \neq = 1$ であることが必要です（ $r = 1$ ならもとの和はただの等差数列の和なので、この方法は使いません）。

手順

$S_{n}$ を項を並べた形で書き、等比部分の公比 $r$ を読み取る（ $r \neq = 1$ を確認）。
両辺に $r$ を掛けた $r S_{n}$ を、 $r$ の同じ累乗が $S_{n}$ の項の真下にくるよう 1 つずらして書く。
$S_{n} - r S_{n}$ を上下の項ごとに計算する。そろった項は係数が公差 $d$ になり、 $S_{n}$ の最初の項と $r S_{n}$ の最後の項がはみ出して残る。
中央にできた等比数列の和を、初項・公比・項数を確認して公式 $\frac{a ( r ^{m} - 1 )}{r - 1}$ で計算する。
$(1 - r) S_{n} = (右辺)$ の両辺を $1 - r$ で割って $S_{n}$ を整理し、 $n = 1$ などを代入して検算する。

例題

$S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} k \cdot 2^{k}$ を $n$ の式で表せ。

例題の解答

手順1: $S_{n} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2^{3} + \dots + n \cdot 2^{n}$ 。等比部分の公比は $r = 2$ で、 $r \neq = 1$ である。

手順2: 両辺に $2$ を掛け、1 つずらして書く。
$2 S_{n} = 1 \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2^{3} + \dots + (n - 1) \cdot 2^{n} + n \cdot 2^{n + 1}$

手順3: 上下で引く。 $2^{2}$ から $2^{n}$ までの項は、係数が $k - (k - 1) = 1$ になる。はみ出すのは、 $S_{n}$ の最初の項 $1 \cdot 2$ と、 $2 S_{n}$ の最後の項 $n \cdot 2^{n + 1}$ である。
$S_{n} - 2 S_{n} = 2 + 2^{2} + 2^{3} + \dots + 2^{n} - n \cdot 2^{n + 1}$

手順4: $2 + 2^{2} + \dots + 2^{n}$ は初項 $2$ 、公比 $2$ 、項数 $n$ の等比数列の和なので $\frac{2 ( 2 ^{n} - 1 )}{2 - 1} = 2^{n + 1} - 2$ である。よって
$- S_{n} = 2^{n + 1} - 2 - n \cdot 2^{n + 1} = (1 - n) 2^{n + 1} - 2$

手順5: 両辺を $1 - 2 = - 1$ で割ると $S_{n} = (n - 1) 2^{n + 1} + 2$ 。
検算をする。 $n = 1$ のとき $0 + 2 = 2$ で、 $1 \cdot 2 = 2$ と一致する。 $n = 2$ のとき $1 \cdot 8 + 2 = 10$ で、 $2 + 8 = 10$ と一致する。

答え: $(n - 1) 2^{n + 1} + 2$

よくある誤り

$r S_{n}$ の最後の項を落としてしまう誤り。例では $2 S_{n}$ の末尾 $n \cdot 2^{n + 1}$ を忘れて $- S_{n} = 2 + 2^{2} + \dots + 2^{n}$ としがちです。正しくは $- S_{n} = 2 + 2^{2} + \dots + 2^{n} - n \cdot 2^{n + 1}$ です。
等比数列の和の項数や初項を取り違える誤り。例の $2 + 2^{2} + \dots + 2^{n}$ を項数 $n - 1$ として $2 (2^{n - 1} - 1)$ とするのは誤りです。正しくは初項 $2$ 、項数 $n$ で $2 (2^{n} - 1)$ です。
最後に $1 - r$ で割るときに符号を間違える誤り。例で $- S_{n} = (1 - n) 2^{n + 1} - 2$ から $S_{n} = (1 - n) 2^{n + 1} - 2$ としてしまうことがあります。正しくは両辺に $- 1$ を掛けて $S_{n} = (n - 1) 2^{n + 1} + 2$ です。
$r$ を掛けたあと、項をずらさずに同じ位置どうしで引いてしまう誤り。 $1 \cdot 2 - 1 \cdot 2^{2}, 2 \cdot 2^{2} - 2 \cdot 2^{3}, \dots$ のように引くと整理できません。正しくは、 $2^{k}$ の同じ累乗どうしをそろえて引きます。すると $k \cdot 2^{k} - (k - 1) \cdot 2^{k} = 2^{k}$ となります。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

置き換えによる漸化式の解法（数学B 数列）
離散フーリエ変換の計算と逆変換（大学院数学フーリエ解析）