数列の問題

各項は、等差数列 $k$ と等比数列 $2^k$（公比 $2$）の積になっています。そこで、$S_n$ から、公比 $2$ を掛けた $2S_n$ を引きます。

$$S_n=1\cdot 2+2\cdot 2^2+3\cdot 2^3+\cdots +n\cdot 2^n$$
$$2S_n=1\cdot 2^2+2\cdot 2^3+\cdots +(n-1)\cdot 2^n+n\cdot 2^{n+1}$$

$2S_n$ は、$S_n$ の各項を $1$ つ右にずらした位置にそろえて書いています。同じ $2^k$ を含む項どうしを引くと、係数の差はどれも $1$ になるので、
$$S_n-2S_n=2+2^2+2^3+\cdots +2^n-n\cdot 2^{n+1}$$
となります。

右辺の $2+2^2+\cdots +2^n$ は初項 $2$、公比 $2$、項数 $n$ の等比数列の和なので
$$2+2^2+\cdots +2^n=\frac{2(2^n-1)}{2-1}=2^{n+1}-2$$
です。よって
$$-S_n=2^{n+1}-2-n\cdot 2^{n+1}=(1-n)\cdot 2^{n+1}-2$$
両辺に $-1$ を掛けて
$$S_n=(n-1)\cdot 2^{n+1}+2$$

（確認）$n=1$ のとき $S_1=2$ で、式は $0\cdot 4+2=2$。$n=2$ のとき $S_2=2+8=10$ で、式は $1\cdot 8+2=10$。どちらも一致します。

$S_n={\sum }_{k=1}^{n}k\cdot 2^k$ とおく。両辺に 2 をかけると $2S_n={\sum }_{k=1}^{n}k\cdot 2^{k+1}=1\cdot 2^2+2\cdot 2^3+\cdots +n\cdot 2^{n+1}$。

$S_n-2S_n$ を計算すると
$-S_n=2+2^2+2^3+\cdots +2^n-n\cdot 2^{n+1}$。

等比数列の和より $2+2^2+\cdots +2^n=2(2^n-1)=2^{n+1}-2$。

よって $-S_n=2^{n+1}-2-n\cdot 2^{n+1}$ となり、
$S_n=(n-1)2^{n+1}+2$。

検算:
$n=1$ のとき $0\cdot 4+2=2$。実際の和は $1\cdot 2=2$ で一致する。
$n=2$ のとき $1\cdot 8+2=10$。実際の和は $2+8=10$ で一致する。
$n=3$ のとき $2\cdot 16+2=34$。実際の和は $10+24=34$ で一致する。