数列の問題

手順1：各項を差の形に分ける

分母の2つの因数 $3k-1$ と $3k+2$ の差は $(3k+2)-(3k-1)=3$ です。そこで、
$$\frac{1}{3k-1}-\frac{1}{3k+2}=\frac{(3k+2)-(3k-1)}{(3k-1)(3k+2)}=\frac{3}{(3k-1)(3k+2)}$$
となります。両辺を $3$ で割ると、
$$\frac{1}{(3k-1)(3k+2)}=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{3k-1}-\frac{1}{3k+2}\right)$$
が成り立ちます。

手順2：和を書き並べて打ち消し合いを確認する

$$\sum _{k=1}^n\frac{1}{(3k-1)(3k+2)}=\frac{1}{3}\left\{\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{8}\right)+\left(\frac{1}{8}-\frac{1}{11}\right)+\cdots +\left(\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}\right)\right\}$$

$-\frac{1}{5}$ と $+\frac{1}{5}$、$-\frac{1}{8}$ と $+\frac{1}{8}$、…… のように、となり合うかっこの中の項が打ち消し合います。最後に残るのは、最初の $\frac{1}{2}$ と最後の $-\frac{1}{3n+2}$ だけです。

手順3：残った項を計算する

$$\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3n+2}\right)=\frac{1}{3}\cdot \frac{(3n+2)-2}{2(3n+2)}=\frac{1}{3}\cdot \frac{3n}{2(3n+2)}=\frac{n}{2(3n+2)}$$

（確認：$n=1$ のとき、もとの和は $\frac{1}{2\cdot 5}=\frac{1}{10}$、求めた式は $\frac{1}{2\cdot 5}=\frac{1}{10}$ で一致します。）

よって、求める和は $\frac{n}{2(3n+2)}$ です。

部分分数分解を用いる。$\frac{1}{(3k-1)(3k+2)}=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{3k-1}-\frac{1}{3k+2}\right)$ である（右辺を通分すると $\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{(3k-1)(3k+2)}$ となり一致する）。

よって
$$\sum _{k=1}^n\frac{1}{(3k-1)(3k+2)}=\frac{1}{3}\sum _{k=1}^n\left(\frac{1}{3k-1}-\frac{1}{3k+2}\right)$$
ここで $3(k+1)-1=3k+2$ なので、隣り合う項が打ち消し合い（望遠鏡和）、
$$=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3n+2}\right)=\frac{1}{3}\cdot \frac{3n}{2(3n+2)}=\frac{n}{2(3n+2)}$$

検算：$n=1$ のとき、左辺は $\frac{1}{2\cdot 5}=\frac{1}{10}$、右辺は $\frac{1}{2\cdot 5}=\frac{1}{10}$ で一致する。$n=2$ のとき、左辺は $\frac{1}{10}+\frac{1}{5\cdot 8}=\frac{1}{10}+\frac{1}{40}=\frac{5}{40}=\frac{1}{8}$、右辺は $\frac{2}{2\cdot 8}=\frac{1}{8}$ で一致する。