分数の数列の和（部分分数分解）

$\frac{1}{k ( k + 1 )} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}$ や $\frac{1}{( 4 k - 1 ) ( 4 k + 3 )} = \frac{1}{4} (\frac{1}{4 k - 1} - \frac{1}{4 k + 3})$ のように差の形に分け、項が打ち消し合うことを使って $\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{a _{k} a _{k + 1}}$ を求められる

前提

等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）

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算数中学高校大学大学院

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等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）

説明

分母が「2つの因数の積」になっている分数の数列の和 $\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{a _{k} a _{k + 1}}$ は、 $\sum k$ や $\sum k^{2}$ の公式では計算できません。そこで、各項を「2つの分数の差」に書き直します。和をとると途中の項が次々に打ち消し合い、最初と最後の数項だけが残るので、和を $n$ の式で表せます。分母が等差数列の隣り合う項の積になっている和で、特によく使います。

なぜそうしてよいのか

2つの分数の差を通分すると $\frac{1}{A} - \frac{1}{B} = \frac{B - A}{A B}$ です（ $A$ , $B$ は 0 でないとします）。分母の2つの因数の差が $k$ によらない一定の数 $d$ （ $B - A = d$ , $d \neq = 0$ ）なら $\frac{1}{A} - \frac{1}{B} = \frac{d}{A B}$ です。両辺を $d$ で割ると $\frac{1}{A B} = \frac{1}{d} (\frac{1}{A} - \frac{1}{B})$ が得られます。たとえば $A = k$ , $B = k + 1$ なら $d = 1$ で $\frac{1}{k ( k + 1 )} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}$ 、 $A = 4 k - 1$ , $B = 4 k + 3$ なら $d = 4$ で $\frac{1}{( 4 k - 1 ) ( 4 k + 3 )} = \frac{1}{4} (\frac{1}{4 k - 1} - \frac{1}{4 k + 3})$ です。

次に打ち消し合いを考えます。 $A$ , $B$ は $k$ の式なので $A (k)$ , $B (k)$ と書きます。もし $B (k) = A (k + 1)$ 、つまり「大きい方の因数が、小さい方の因数の $k$ を $k + 1$ にしたもの」になっていれば、 $k$ 番目の項の引く部分 $\frac{1}{B ( k )}$ と $k + 1$ 番目の項の足す部分 $\frac{1}{A ( k + 1 )}$ が同じ分数になり、隣どうしで消えます。たとえば $4 (k + 1) - 1 = 4 k + 3$ なので $\frac{1}{( 4 k - 1 ) ( 4 k + 3 )}$ はこの形です。 $\frac{1}{k ( k + 1 )}$ も $A (k + 1) = k + 1 = B (k)$ なので $\sum_{k = 1}^{n} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}) = (\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1})$ では $- \frac{1}{2}$ と $+ \frac{1}{2}$ 、 $- \frac{1}{3}$ と $+ \frac{1}{3}$ 、…が消え、最初の $\frac{1}{1}$ と最後の $- \frac{1}{n + 1}$ だけが残って和は $1 - \frac{1}{n + 1} = \frac{n}{n + 1}$ です。

一方、 $\frac{1}{k ( k + 2 )}$ のように $B (k) = A (k + 2)$ となる場合は、 $k$ 番目の $- \frac{1}{k + 2}$ と消えるのは $k + 2$ 番目の $+ \frac{1}{k + 2}$ なので、1つおきに消え、前から2つ・後ろから2つが残ります。このように、隣り合う項の積（ $B (k) = A (k + 1)$ ）のときは「最初の項の前半 − 最後の項の後半」の2つだけが残る、というのがこの方法の要点です。

手順

分母の2つの因数 $A$ （小さい方）と $B$ （大きい方）を確認し、差 $d = B - A$ を求める（ $d$ が $k$ によらない 0 でない定数であることを確かめる）
$A$ の $k$ を $k + 1$ に置きかえたものが $B$ と一致するか（ $A (k + 1) = B (k)$ 、隣り合う項の積か）を確かめる。一致しない場合（ $k$ と $k + 2$ など）は、最初と最後の1つずつだけが残るとは限らないので、手順4で残る項を特に注意して調べる
各項を差の形に分ける： $\frac{1}{A B} = \frac{1}{d} (\frac{1}{A} - \frac{1}{B})$ 。係数 $\frac{1}{d}$ は Σ の外に出す
$k = 1, 2, \dots, n$ を代入して項を並べて書き、どの分数どうしが打ち消し合うかを確認する
消えずに残った分数（隣り合う項の積なら、最初の $\frac{1}{A ( 1 )}$ と最後の $- \frac{1}{B ( n )}$ ）だけを計算し、 $\frac{1}{d}$ を掛ける
通分して1つの分数にまとめ、 $n = 1$ などを代入して元の和と一致するか確かめる

例題

和 $S = k = 1 \sum n \frac{1}{( 3 k - 1 ) ( 3 k + 2 )}$ を求めよ。

例題の解答

手順1：分母の因数は $A = 3 k - 1$ , $B = 3 k + 2$ で、差は $d = (3 k + 2) - (3 k - 1) = 3$ （定数）。また $k ≧ 1$ では $A$ , $B$ は 0 にならない。

手順2： $A$ の $k$ を $k + 1$ にすると $3 (k + 1) - 1 = 3 k + 2 = B$ なので、隣り合う項の積になっている。

手順3： $\frac{1}{( 3 k - 1 ) ( 3 k + 2 )} = \frac{1}{3} (\frac{1}{3 k - 1} - \frac{1}{3 k + 2})$ 。（確認：右辺を通分すると $\frac{1}{3} \cdot \frac{( 3 k + 2 ) - ( 3 k - 1 )}{( 3 k - 1 ) ( 3 k + 2 )} = \frac{1}{( 3 k - 1 ) ( 3 k + 2 )}$ 。）よって $S = \frac{1}{3} \sum_{k = 1}^{n} (\frac{1}{3 k - 1} - \frac{1}{3 k + 2})$ 。

手順4：項を並べると $S = \frac{1}{3} {(\frac{1}{2} - \frac{1}{5}) + (\frac{1}{5} - \frac{1}{8}) + \dots + (\frac{1}{3 n - 1} - \frac{1}{3 n + 2})}$ となり、 $- \frac{1}{5}$ と $+ \frac{1}{5}$ 、 $- \frac{1}{8}$ と $+ \frac{1}{8}$ 、…と隣どうしで打ち消し合う。

手順5：残るのは最初の $\frac{1}{2}$ と最後の $- \frac{1}{3 n + 2}$ なので $S = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} - \frac{1}{3 n + 2})$ 。

手順6：通分すると $\frac{1}{2} - \frac{1}{3 n + 2} = \frac{( 3 n + 2 ) - 2}{2 ( 3 n + 2 )} = \frac{3 n}{2 ( 3 n + 2 )}$ なので $S = \frac{1}{3} \cdot \frac{3 n}{2 ( 3 n + 2 )} = \frac{n}{6 n + 4}$ 。確かめ： $n = 1$ のとき元の和は $\frac{1}{2 \cdot 5} = \frac{1}{10}$ 、式の値も $\frac{1}{6 + 4} = \frac{1}{10}$ で一致する。

答え: $\frac{n}{6 n + 4}$

よくある誤り

係数 $\frac{1}{d}$ を付け忘れ、 $\frac{1}{( 3 k - 1 ) ( 3 k + 2 )} = \frac{1}{3 k - 1} - \frac{1}{3 k + 2}$ としてしまう誤り。右辺を通分すると $\frac{3}{( 3 k - 1 ) ( 3 k + 2 )}$ になってしまう。正しくは $\frac{1}{3} (\frac{1}{3 k - 1} - \frac{1}{3 k + 2})$ 。分けたら必ず通分して元に戻るか確かめる。
最後に残る項を取り違え、 $\sum_{k = 1}^{n} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}) = 1 - \frac{1}{n}$ としてしまう誤り。最後の項は $k = n$ のときの $\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$ で、 $\frac{1}{n}$ は前の項の $- \frac{1}{n}$ と消えるので、正しくは $1 - \frac{1}{n + 1} = \frac{n}{n + 1}$ 。
$B (k) = A (k + 1)$ にならない（ $k$ と $k + 2$ など）ときも、最初と最後の1つずつしか残らないとしてしまう誤り。 $\frac{1}{k ( k + 2 )} = \frac{1}{2} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 2})$ では $k + 1 \neq = k + 2$ なので1つおきに消え、正しくは $\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k ( k + 2 )} = \frac{1}{2} (1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2})$ のように前から2つ・後ろから2つが残る。なお、因数の差 $d$ が 3 や 4 でも、 $\frac{1}{( 3 k - 1 ) ( 3 k + 2 )}$ や $\frac{1}{( 4 k - 1 ) ( 4 k + 3 )}$ のように隣り合う項の積（ $B (k) = A (k + 1)$ ）なら、残るのは最初と最後の1つずつだけである。
分母の因数の差を $k$ の係数どうしの和などと勘違いし、 $\frac{1}{( 4 k - 1 ) ( 4 k + 3 )}$ の係数を $\frac{1}{8}$ などにしてしまう誤り。差は $(4 k + 3) - (4 k - 1) = 4$ なので、正しくは $\frac{1}{4} (\frac{1}{4 k - 1} - \frac{1}{4 k + 3})$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

分数の数列の和（部分分数分解）

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