数列の問題

一般項の推測

漸化式から最初のいくつかの項を計算すると
$$a_2=3^2-2\cdot 1\cdot 3+2=5,a_3=5^2-2\cdot 2\cdot 5+2=7,a_4=7^2-2\cdot 3\cdot 7+2=9$$
となる。よって $a_n=2n+1$ と推測できる。

数学的帰納法による証明

$(1)$ $n=1$ のとき、$a_1=3=2\cdot 1+1$ であるから成り立つ。

$(2)$ $n=k$ のとき $a_k=2k+1$ が成り立つと仮定する。漸化式より
$$a_{k+1}=a_k^2-2k{a}_k+2=a_k(a_k-2k)+2=(2k+1)\cdot 1+2=2k+3=2(k+1)+1$$
となり、$n=k+1$ のときも成り立つ。

$(1)$, $(2)$ より、すべての正の整数 $n$ について $a_n=2n+1$ である。

和の計算

$a_k{a}_{k+1}=(2k+1)(2k+3)$ であり、
$$\frac{1}{(2k+1)(2k+3)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+3}\right)$$
と部分分数に分解できる。したがって
$$\sum _{k=1}^{20}\frac{1}{a_k{a}_{k+1}}=\frac{1}{2}\left\{\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\right)+\cdots +\left(\frac{1}{41}-\frac{1}{43}\right)\right\}$$
途中の項が打ち消し合うので
$$=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{43}\right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{43-3}{129}=\frac{1}{2}\cdot \frac{40}{129}=\frac{20}{129}$$

よって求める値は $\frac{20}{129}$ である。

$a_1=3,a_2=9-6+2=5,a_3=25-20+2=7$ より $a_n=2n+1$ と推測する。
数学的帰納法で示す。$n=1$ のとき $a_1=3$ で成り立つ。$a_n=2n+1$ と仮定すると、
$a_{n+1}=(2n+1{)}^2-2n(2n+1)+2=(2n+1)(2n+1-2n)+2=2n+3=2(n+1)+1$。よって全ての $n$ で $a_n=2n+1$。

したがって
$\frac{1}{a_k{a}_{k+1}}=\frac{1}{(2k+1)(2k+3)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+3}\right)$。
$k=1$ から $20$ まで和をとると隣り合う項が打ち消し合い、
$\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{43}\right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{40}{129}=\frac{20}{129}$。

検算：$k=1$ のみなら $\frac{1}{15}$ で、公式 $\frac{1}{2}(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})=\frac{1}{15}$ と一致する。