数列の問題

一般項の推測

最初のいくつかの項を計算する。
$$a_2=\frac{3\cdot 1-1}{4\cdot 1-1}=\frac{2}{3},a_3=\frac{2-1}{\frac{8}{3}-1}=\frac{1}{\frac{5}{3}}=\frac{3}{5},a_4=\frac{\frac{9}{5}-1}{\frac{12}{5}-1}=\frac{\frac{4}{5}}{\frac{7}{5}}=\frac{4}{7}$$
これより、
$$a_n=\frac{n}{2n-1}(n=1,2,3,\dots )(1)$$
と推測できる。

数学的帰納法による証明

[I] $n=1$ のとき、$\frac{1}{2\cdot 1-1}=1=a_1$ なので $(1)$ は成り立つ。

[II] $n=k$ のとき $(1)$ が成り立つ、すなわち $a_k=\frac{k}{2k-1}$ と仮定する。このとき
$$3a_k-1=\frac{3k-(2k-1)}{2k-1}=\frac{k+1}{2k-1},4a_k-1=\frac{4k-(2k-1)}{2k-1}=\frac{2k+1}{2k-1}$$
である。$4a_k-1\ne 0$ なので $a_{k+1}$ は定まり、
$$a_{k+1}=\frac{k+1}{2k-1}\cdot \frac{2k-1}{2k+1}=\frac{k+1}{2k+1}=\frac{k+1}{2(k+1)-1}$$
となる。よって $n=k+1$ のときも $(1)$ は成り立つ。

[I], [II] より、すべての正の整数 $n$ について $a_n=\frac{n}{2n-1}$ である。

不等式を解く

$n\geqq 1$ より $2n-1>0$ であるから、両辺に $100(2n-1)$ を掛けて
$$\frac{n}{2n-1}<\frac{51}{100}⟺100n<51(2n-1)⟺100n<102n-51⟺2n>51⟺n>\frac{51}{2}$$
となる。これを満たす最小の正の整数は $n=26$ である。

(確認: $a_{25}=\frac{25}{49}=0.5102\cdots >0.51$、$a_{26}=\frac{26}{51}=0.5098\cdots <0.51$。)

したがって、求める $n$ は $26$ である。

$b_n=\frac{1}{a_n-\frac{1}{2}}$ とおく。$a_n\ne \frac{1}{2}$ は帰納的に確かめられる。

$a_{n+1}-\frac{1}{2}=\frac{3a_n-1}{4a_n-1}-\frac{1}{2}=\frac{2a_n-1}{2(4a_n-1)}=\frac{a_n-\frac{1}{2}}{4a_n-1}$

よって $b_{n+1}=\frac{4a_n-1}{a_n-\frac{1}{2}}=\frac{4(a_n-\frac{1}{2})+1}{a_n-\frac{1}{2}}=4+b_n$。

$b_1=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$ なので $b_n=4n-2$ となり、$a_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{4n-2}$。

$a_n<\frac{51}{100}$ は $\frac{1}{4n-2}<\frac{1}{100}$、つまり $4n-2>100$、すなわち $n>25.5$。

検算: $n=25$ のとき $a_{25}=\frac{1}{2}+\frac{1}{98}>\frac{51}{100}$ で不成立。$n=26$ のとき $a_{26}=\frac{1}{2}+\frac{1}{102}<\frac{51}{100}$ で成立。$a_n$ は $n$ について単調減少なので、最小の $n$ は 26。