数列の問題

(i) 各項が定義され、正であることの確認

すべての正の整数 $n$ について $0<a_n<1$ であることを、数学的帰納法で示す。

$n=1$ のとき、$a_1=\frac{1}{3}$ なので成り立つ。

$0<a_n<1$ が成り立つと仮定する。$n-1\geqq 0$ なので、分母について
$$2n-(n-1)a_n\geqq 2n-(n-1)=n+1>0$$
が成り立つ（$n=1$ のときは分母が $2$ である）。したがって $a_{n+1}>0$ である。さらに、分母が $n+1$ 以上であることから
$$a_{n+1}\leqq \frac{(n+1)a_n}{n+1}=a_n<1$$
となる。よって $0<a_{n+1}<1$ である。

以上より、すべての $n$ で $0<a_n<1$ であり、各項はきちんと定義され、$a_n\ne 0$ である。

(ii) 逆数をとる

$a_n\ne 0$ より、漸化式の両辺の逆数をとると
$$\frac{1}{a_{n+1}}=\frac{2n-(n-1)a_n}{(n+1)a_n}=\frac{2n}{(n+1)a_n}-\frac{n-1}{n+1}.$$
両辺に $n+1$ を掛けると
$$\frac{n+1}{a_{n+1}}=2\cdot \frac{n}{a_n}-(n-1).$$

(iii) 置き換え

$b_n=\frac{n}{a_n}$ とおくと
$$b_{n+1}=2b_n-n+1,b_1=\frac{1}{a_1}=3.$$

(iv) $b_n$ を求める

$b_{n+1}-(n+1)$ を計算すると
$$b_{n+1}-(n+1)=2b_n-n+1-n-1=2b_n-2n=2(b_n-n).$$
そこで $d_n=b_n-n$ とおくと、$d_{n+1}=2d_n$ であり、$d_1=b_1-1=2$ である。

よって $\{d_n\}$ は初項 $2$、公比 $2$ の等比数列であり、$d_n=2\cdot 2^{n-1}=2^n$ となる。したがって
$$b_n=2^n+n.$$

(v) $a_n$ を求める

$b_n=\frac{n}{a_n}$ より
$$a_n=\frac{n}{b_n}=\frac{n}{2^n+n}.$$

(vi) 検算

$a_1=\frac{1}{2+1}=\frac{1}{3}$ であり、与えられた初項と一致する。

漸化式から $a_2=\frac{2\cdot \frac{1}{3}}{2-0}=\frac{1}{3}$ であり、公式の値 $\frac{2}{4+2}=\frac{1}{3}$ と一致する。

漸化式から $a_3=\frac{3\cdot \frac{1}{3}}{4-\frac{1}{3}}=\frac{3}{11}$ であり、公式の値 $\frac{3}{8+3}=\frac{3}{11}$ と一致する。

以上より $a_n=\frac{n}{2^n+n}$ である。

$a_n\ne 0$ を確かめたうえで逆数をとる。$b_n=\frac{1}{a_n}$ とおくと、$b_{n+1}=\frac{2n-(n-1)a_n}{(n+1)a_n}=\frac{2n}{n+1}{b}_n-\frac{n-1}{n+1}$。両辺に $n+1$ を掛けると $(n+1)b_{n+1}=2n{b}_n-(n-1)$。
$c_n=n{b}_n$ とおくと $c_{n+1}=2c_n-(n-1)$、$c_1=b_1=3$。
特殊解を $c_n=pn+q$ とおくと $p(n+1)+q=2pn+2q-n+1$ より $p=1,q=0$。よって $c_{n+1}-(n+1)=2(c_n-n)$。$c_1-1=2$ なので $c_n-n=2\cdot 2^{n-1}=2^n$。ゆえに $c_n=n+2^n$、$b_n=\frac{n+2^n}{n}$。
したがって $a_n=\frac{n}{n+2^n}$。
検算：$a_2=\frac{2\cdot \frac{1}{3}}{2-0}=\frac{1}{3}$、公式では $\frac{2}{2+4}=\frac{1}{3}$ で一致。$a_3=\frac{3\cdot \frac{1}{3}}{4-\frac{1}{3}}=\frac{3}{11}$、公式では $\frac{3}{3+8}=\frac{3}{11}$ で一致。