数列の問題

1. 置き換え

$b_n=n{a}_n$ とおく。$(n+1)a_{n+1}=b_{n+1}$、$n{a}_n=b_n$ なので、漸化式は
$$b_{n+1}=2b_n+n+1,b_1=1\cdot a_1=1$$
となる。

2. 等比数列に帰着させる

定数 $\alpha ,\beta$ を用いて
$$b_{n+1}+\alpha (n+1)+\beta =2\left(b_n+\alpha n+\beta \right)$$
の形に変形できるようにする。これを展開して整理すると
$$b_{n+1}=2b_n+\alpha n+(\beta -\alpha )$$
である。$b_{n+1}=2b_n+n+1$ と係数を比べると、$\alpha =1$、$\beta -\alpha =1$ となる。よって $\alpha =1,\beta =2$ であり、
$$b_{n+1}+(n+1)+2=2\left(b_n+n+2\right)$$
が成り立つ。

3. $b_n$ を求める

数列 $\{b_n+n+2\}$ は、初項 $b_1+1+2=4$、公比 $2$ の等比数列である。したがって
$$b_n+n+2=4\cdot 2^{n-1}=2^{n+1}$$
となり、
$$b_n=2^{n+1}-n-2$$
を得る。

4. $a_n$ を求める

$a_n=\frac{b_n}{n}$ より
$$a_n=\frac{2^{n+1}-n-2}{n}$$
である。

5. 確認

• 公式から $a_1=\frac{4-3}{1}=1$ となり、初項と一致する。
• 漸化式から $2a_2=2\cdot 1\cdot 1+2=4$ より $a_2=2$。公式でも $\frac{8-4}{2}=2$ で一致する。
• 漸化式から $3a_3=2\cdot 2\cdot 2+3=11$ より $a_3=\frac{11}{3}$。公式でも $\frac{16-5}{3}=\frac{11}{3}$ で一致する。

$c_n=n{a}_n$ とおくと、$c_1=1$、$c_{n+1}=2c_n+n+1$ となる。
特殊解を $c_n=pn+q$ とおくと、$p(n+1)+q=2(pn+q)+n+1$ より $p=2p+1$、$p+q=2q+1$ なので $p=-1$、$q=-2$。
よって $c_{n+1}+(n+1)+2=2(c_n+n+2)$ となり、$c_n+n+2$ は公比 $2$ の等比数列である。初項は $c_1+3=4$ なので $c_n+n+2=4\cdot 2^{n-1}=2^{n+1}$。
ゆえに $c_n=2^{n+1}-n-2$ で、$a_n=\frac{2^{n+1}-n-2}{n}$。
検算：$a_1=(4-3)/1=1$。$c_2=2\cdot 1+2=4$ で、公式では $8-4=4$ で一致する。$c_3=2\cdot 4+3=11$ で、公式では $16-5=11$ で一致する。