数列の問題

$n$ は正の整数なので $n(n+1)(n+2)\ne 0$ である。漸化式
$$n{a}_{n+1}=2(n+2)a_n+n(n+1)(n+2)$$
の両辺を $n(n+1)(n+2)$ で割ると
$$\frac{a_{n+1}}{(n+1)(n+2)}=\frac{2a_n}{n(n+1)}+1$$
となる。そこで
$$b_n=\frac{a_n}{n(n+1)}(n=1,2,3,\dots )$$
とおくと、$\frac{a_{n+1}}{(n+1)(n+2)}=b_{n+1}$ であるから
$$b_{n+1}=2b_n+1,b_1=\frac{a_1}{1\cdot 2}=\frac{1}{2}$$
を得る。

$\alpha =2\alpha +1$ を解くと $\alpha =-1$ である。漸化式からこれを引くと $b_{n+1}+1=2(b_n+1)$ となる。したがって数列 $\{b_n+1\}$ は初項 $b_1+1=\frac{3}{2}$、公比 $2$ の等比数列である。よって
$$b_n+1=\frac{3}{2}\cdot 2^{n-1}=3\cdot 2^{n-2}$$
となり、
$$b_n=3\cdot 2^{n-2}-1$$
である。ゆえに
$$a_n=n(n+1)b_n=n(n+1)\left(3\cdot 2^{n-2}-1\right)$$
となる。

（確認）
- 公式で $n=1$ とすると $1\cdot 2\cdot \left(\frac{3}{2}-1\right)=1$ で、$a_1=1$ と一致する。
- 漸化式で $n=1$ とすると $a_2=2\cdot 3\cdot 1+1\cdot 2\cdot 3=12$ である。公式では $2\cdot 3\cdot (3-1)=12$ で一致する。
- 漸化式で $n=2$ とすると $2a_3=2\cdot 4\cdot 12+2\cdot 3\cdot 4=120$ より $a_3=60$ である。公式では $3\cdot 4\cdot (6-1)=60$ で一致する。

答えは $a_n=n(n+1)\left(3\cdot 2^{n-2}-1\right)$ である。

両辺を $n(n+1)(n+2)$ で割ると $\frac{a_{n+1}}{(n+1)(n+2)}=\frac{2a_n}{n(n+1)}+1$ となる。そこで $b_n=\frac{a_n}{n(n+1)}$ とおくと、$b_{n+1}=2b_n+1$、$b_1=\frac{1}{2}$ である。

$b_{n+1}+1=2(b_n+1)$ より、数列 $\{b_n+1\}$ は初項 $\frac{3}{2}$、公比 $2$ の等比数列である。よって $b_n+1=\frac{3}{2}\cdot 2^{n-1}=3\cdot 2^{n-2}$ なので、$b_n=3\cdot 2^{n-2}-1$。

したがって $a_n=n(n+1)(3\cdot 2^{n-2}-1)$。

検算:漸化式から $a_2=2\cdot 3\cdot 1+1\cdot 2\cdot 3=12$。公式では $2\cdot 3\cdot (3-1)=12$ で一致する。また漸化式から $2a_3=2\cdot 4\cdot 12+2\cdot 3\cdot 4=120$ なので $a_3=60$。公式では $3\cdot 4\cdot (6-1)=60$ で一致する。