$a_{n + 1} = p a_{n} + q$ 型の漸化式

特性方程式 $α = p α + q$ の解 $α$ を使って $a_{n + 1} - α = p (a_{n} - α)$ と変形し、等比数列に帰着させて一般項を求められる（例: $a_{1} = 1, a_{n + 1} = 3 a_{n} + 2$ ）

前提

等差数列・等比数列の一般項（数学B 数列）

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算数中学高校大学大学院

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等差数列・等比数列の一般項（数学B 数列）

説明

$a_{1}$ の値と、 $a_{n + 1} = p a_{n} + q$ （ $p, q$ は定数で、 $p \neq = 0$ かつ $p \neq = 1$ ）という「前の項から次の項を作る規則」が与えられたとき、 $a_{n}$ を $n$ の式で表せるようになります。このような規則を漸化式といいます。この形の漸化式は、うまく変形すると等比数列の問題になり、等比数列の一般項の公式で解けます。

なぜそうしてよいのか

漸化式 $a_{n + 1} = p a_{n} + q$ から定数 $q$ を消したい、と考えます。そこで、 $a_{n}$ と $a_{n + 1}$ をどちらも同じ数 $α$ に置きかえた等式 $α = p α + q$ が成り立つような $α$ を用意します。この方程式を特性方程式といいます。 $p \neq = 1$ なら $(1 - p) α = q$ より $α = \frac{q}{1 - p}$ とただ 1 つに決まります。 $α$ は数列の項ではなく、計算のための補助の数です。

2 つの等式 $a_{n + 1} = p a_{n} + q$ と $α = p α + q$ を辺ごとに引くと、 $q$ が消えて $a_{n + 1} - α = p (a_{n} - α)$ となります。そこで $b_{n} = a_{n} - α$ とおくと $b_{n + 1} = p b_{n}$ です。 $p \neq = 0$ のとき、 ${b_{n}}$ は「毎回 $p$ 倍される数列」、すなわち初項 $b_{1} = a_{1} - α$ 、公比 $p$ （ $p \neq = 0$ ）の等比数列です。したがって $b_{n} = (a_{1} - α) p^{n - 1}$ となり、 $a_{n} = b_{n} + α$ で元の数列に戻せます。 $a_{1} = α$ のときは $b_{n}$ がすべて $0$ になりますが、この式はそのまま成り立ちます。

例外の場合も確認しておきます。 $p = 1$ のときは $a_{n + 1} = a_{n} + q$ で、公差 $q$ の等差数列です。このとき特性方程式 $α = α + q$ は $q \neq = 0$ なら解をもたないので、この方法は使えません。 $p = 0$ のときは $a_{n + 1} = q$ なので、 $n ≧ 2$ ではつねに $a_{n} = q$ となり、等比数列を持ち出す必要はありません（式 $p^{n - 1}$ に $p = 0$ を入れると $n = 1$ で $0^{0}$ が現れて意味をもたないので、この場合は公式に当てはめません）。以下の方法は $p \neq = 0$ かつ $p \neq = 1$ のときに使います。

手順

漸化式が $a_{n + 1} = p a_{n} + q$ の形であることを確かめ、 $p$ と $q$ を読み取る。 $p \neq = 0$ かつ $p \neq = 1$ であることを確認する。
特性方程式 $α = p α + q$ を解いて $α$ を求める。
漸化式を $a_{n + 1} - α = p (a_{n} - α)$ と変形する（右辺を展開して元の式に戻ることを確かめる）。
数列 ${a_{n} - α}$ は初項 $a_{1} - α$ 、公比 $p$ （ $p \neq = 0$ ）の等比数列なので、 $a_{n} - α = (a_{1} - α) p^{n - 1}$ と書く。
両辺に $α$ を加えて $a_{n} = (a_{1} - α) p^{n - 1} + α$ とし、 $a_{1}$ や $a_{2}$ で検算する。

例題

$a_{1} = 5, a_{n + 1} = 2 a_{n} - 3 (n = 1, 2, 3, \dots)$ で定められる数列 ${a_{n}}$ の一般項を求めよ。

例題の解答

手順1: $p = 2, q = - 3$ で、 $p \neq = 0$ かつ $p \neq = 1$ である。
手順2: 特性方程式 $α = 2 α - 3$ を解くと、 $- α = - 3$ より $α = 3$ 。
手順3: 漸化式は $a_{n + 1} - 3 = 2 (a_{n} - 3)$ と変形できる（右辺を展開すると $2 a_{n} - 6$ なので、移項すると $a_{n + 1} = 2 a_{n} - 3$ に戻る）。
手順4: 数列 ${a_{n} - 3}$ は初項 $a_{1} - 3 = 5 - 3 = 2$ 、公比 $2$ の等比数列である。よって $a_{n} - 3 = 2 \cdot 2^{n - 1} = 2^{n}$ 。
手順5: $a_{n} = 2^{n} + 3$ 。検算すると、 $a_{1} = 2 + 3 = 5$ で与えられた値と一致する。また漸化式から $a_{2} = 2 \cdot 5 - 3 = 7$ 、式からも $a_{2} = 4 + 3 = 7$ となり一致する。

答え: $2^{n} + 3$

よくある誤り

等比数列の初項を $a_{1}$ のままにしてしまう誤り。等比数列になるのは ${a_{n} - α}$ なので、初項は $a_{1} - α$ である。例題では $a_{n} - 3 = 5 \cdot 2^{n - 1}$ ではなく、正しくは $a_{n} - 3 = 2 \cdot 2^{n - 1}$ 。
指数を $p^{n}$ としてしまう誤り。第 $n$ 項は初項に公比を $n - 1$ 回掛けたものなので、正しくは $a_{n} - α = (a_{1} - α) p^{n - 1}$ 。例題で $2 \cdot 2^{n} + 3$ とすると $a_{1} = 7$ となって合わない。
$a_{n} - α$ を求めたところで終えてしまい、 $α$ を加え忘れる誤り。例題では $a_{n} = 2^{n}$ ではなく、正しくは $a_{n} = 2^{n} + 3$ 。
$p$ の値を確かめずに公式を当てはめる誤り。たとえば $a_{n + 1} = 0 \cdot a_{n} + 4$ （ $p = 0$ ）では $a_{n} = (a_{1} - 4) \cdot 0^{n - 1} + 4$ としてはいけない（ $n = 1$ で $0^{0}$ が現れる）。正しくは $n ≧ 2$ で $a_{n} = 4$ とわかるだけで十分。また $p = 1$ の $a_{n + 1} = a_{n} + q$ は公差 $q$ の等差数列として $a_{n} = a_{1} + (n - 1) q$ と求める。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

置き換えによる漸化式の解法（数学B 数列）
隣接 3 項間の漸化式（数学B 数列）

an+1​=pan​+q 型の漸化式

前提

説明