数列の問題

まず一般項 $a_n$ を求める。

$\alpha =3\alpha -4$ を満たす $\alpha$ を求めると $\alpha =2$ である。漸化式 $a_{n+1}=3a_n-4$ から $2=3\cdot 2-4$ を辺々引くと
$$a_{n+1}-2=3(a_n-2)$$
となる。よって数列 $\{a_n-2\}$ は初項 $a_1-2=1$、公比 $3$ の等比数列であるから
$$a_n-2=1\cdot 3^{n-1}\text{すなわち}{a}_n=3^{n-1}+2.$$
(確認: $a_1=1+2=3$, $a_2=3+2=5=3\cdot 3-4$, $a_3=9+2=11=3\cdot 5-4$ で正しい。)

次に和を求める。
$$\sum _{k=1}^n{a}_k=\sum _{k=1}^n{3}^{k-1}+\sum _{k=1}^{n}2.$$
第 $1$ 項は初項 $1$、公比 $3$、項数 $n$ の等比数列の和なので
$$\sum _{k=1}^n{3}^{k-1}=\frac{1\cdot (3^n-1)}{3-1}=\frac{3^n-1}{2}.$$
第 $2$ 項は $2n$ である。したがって
$$\sum _{k=1}^n{a}_k=\frac{3^n-1}{2}+2n.$$
(確認: $n=2$ のとき $\frac{9-1}{2}+4=8=3+5$ で正しい。)

漸化式 $a_{n+1}=3a_n-4$ の特性方程式 $\alpha =3\alpha -4$ より $\alpha =2$。よって $a_{n+1}-2=3(a_n-2)$。$a_1-2=1$ なので $a_n-2=3^{n-1}$、すなわち $a_n=3^{n-1}+2$。
和は ${\sum }_{k=1}^n{a}_k={\sum }_{k=1}^n{3}^{k-1}+2n=\frac{3^n-1}{2}+2n=\frac{3^n+4n-1}{2}$。
検算: $n=1$ のとき $(3+4-1)/2=3=a_1$。$n=2$ のとき $a_2=3\cdot 3-4=5$ なので和は $8$。式は $(9+8-1)/2=8$ で一致。$n=3$ のとき $a_3=11$ なので和は $19$。式は $(27+12-1)/2=19$ で一致。