数列の問題

漸化式 $a_{n+1}=4a_n-6$ を、等比数列の形に変形します。

手順1：特性方程式を解く

$a_{n+1}$ と $a_n$ をどちらも $\alpha$ におきかえた方程式
$$\alpha =4\alpha -6$$
を解くと、$-3\alpha =-6$ より $\alpha =2$ です。

手順2：漸化式を変形する

$$a_{n+1}=4a_n-6(1)$$
$$2=4\cdot 2-6(2)$$
$(1)$ から $(2)$ を辺々引くと
$$a_{n+1}-2=4(a_n-2)$$
となります。

手順3：等比数列に帰着させる

$b_n=a_n-2$ とおくと $b_{n+1}=4b_n$ です。よって数列 $\{b_n\}$ は公比 $4$ の等比数列です。初項は
$$b_1=a_1-2=5-2=3$$
なので、
$$b_n=3\cdot 4^{n-1}$$
です。

手順4：$a_n$ に戻す

$a_n=b_n+2$ より
$$a_n=3\cdot 4^{n-1}+2$$
となります。

（確認）$n=1$ のとき $3\cdot 1+2=5$ です。漸化式から $a_2=4\cdot 5-6=14$ で、式からも $3\cdot 4+2=14$ となり、一致します。

漸化式 $a_{n+1}=4a_n-6$ の特性方程式 $\alpha =4\alpha -6$ より $\alpha =2$。よって $a_{n+1}-2=4(a_n-2)$ と変形できる。数列 $\{a_n-2\}$ は初項 $a_1-2=3$、公比 $4$ の等比数列なので $a_n-2=3\cdot 4^{n-1}$。したがって $a_n=3\cdot 4^{n-1}+2$。
検算：$n=1$ のとき $3+2=5$。$n=2$ のとき $a_2=4\cdot 5-6=14$、公式では $3\cdot 4+2=14$ で一致する。$n=3$ のとき $a_3=4\cdot 14-6=50$、公式では $3\cdot 16+2=50$ で一致する。