数列の問題

方針 漸化式を $a_{n+1}-a_n=4n+1$ と書き直すと、$\{a_n\}$ の階差数列 $\{b_n\}$ が $b_n=4n+1$ であることがわかります。そこで階差数列の公式を使います。

手順1：階差数列を読み取る
$$b_n=a_{n+1}-a_n=4n+1$$

手順2：$n\geqq 2$ のとき公式にあてはめる
$n\geqq 2$ のとき
$$a_n=a_1+\sum _{k=1}^{n-1}{b}_k=2+\sum _{k=1}^{n-1}(4k+1)$$
ここで、$\sum _{k=1}^{n-1}k=\frac{1}{2}(n-1)n$、$\sum _{k=1}^{n-1}1=n-1$ ですから
$$\sum _{k=1}^{n-1}(4k+1)=4\cdot \frac{1}{2}(n-1)n+(n-1)=2n^2-2n+n-1=2n^2-n-1$$
よって
$$a_n=2+(2n^2-n-1)=2n^2-n+1$$

手順3：$n=1$ のときを確かめる
公式 $a_n=a_1+{\sum }_{k=1}^{n-1}{b}_k$ は $n\geqq 2$ でしか使えないので、$n=1$ を別に確かめます。$2\cdot 1^2-1+1=2$ となり、$a_1=2$ と一致します。

（検算：$a_2=2+5=7$、$2\cdot 4-2+1=7$。$a_3=7+9=16$、$2\cdot 9-3+1=16$。）

したがって、$a_n=2n^2-n+1$ です。

階差数列 $b_n=a_{n+1}-a_n=4n+1$ より、$n\ge 2$ のとき
$$a_n=a_1+\sum _{k=1}^{n-1}(4k+1)=2+4\cdot \frac{(n-1)n}{2}+(n-1)=2+2n^2-2n+n-1=2n^2-n+1.$$
$n=1$ のとき $2-1+1=2=a_1$ なので成り立つ。
検算：$a_2=a_1+4+1=7$、式では $8-2+1=7$。$a_3=7+9=16$、式では $18-3+1=16$。よって $a_n=2n^2-n+1$。