数列の問題

手順1：特性方程式を解く

漸化式 $a_{n+1}=4a_n-6$ の $a_{n+1}$ と $a_n$ をどちらも $\alpha$ でおきかえた方程式
$$\alpha =4\alpha -6$$
を解きます。$-3\alpha =-6$ より $\alpha =2$ です。

手順2：漸化式を変形する

$\alpha =2$ は $2=4\cdot 2-6$ を満たします。これを漸化式 $a_{n+1}=4a_n-6$ から辺々引くと
$$a_{n+1}-2=4a_n-4\cdot 2=4(a_n-2)$$
となります。

手順3：等比数列に帰着させる

$b_n=a_n-2$ とおくと、$b_{n+1}=4b_n$ です。よって数列 $\{b_n\}$ は公比 $4$ の等比数列です。初項は
$$b_1=a_1-2=5-2=3$$
です。したがって
$$b_n=3\cdot 4^{n-1}$$
となります。

手順4：$a_n$ に戻す

$a_n=b_n+2$ だから
$$a_n=3\cdot 4^{n-1}+2$$
です。

（確認）$n=1$ のとき $3\cdot 1+2=5$ で $a_1=5$ と一致します。$n=2$ のとき $3\cdot 4+2=14$ で、漸化式から求めた $a_2=4\cdot 5-6=14$ と一致します。

答え：$a_n=3\cdot 4^{n-1}+2$

漸化式 $a_{n+1}=4a_n-6$ の特性方程式 $\alpha =4\alpha -6$ より $\alpha =2$。よって $a_{n+1}-2=4(a_n-2)$ と変形できる。数列 $\{a_n-2\}$ は初項 $a_1-2=3$、公比 $4$ の等比数列なので $a_n-2=3\cdot 4^{n-1}$。したがって $a_n=3\cdot 4^{n-1}+2$。検算: $n=1$ のとき $3+2=5$。$n=2$ のとき $a_2=4\cdot 5-6=14$ で、公式では $3\cdot 4+2=14$ となり一致する。$n=3$ のとき $a_3=4\cdot 14-6=50$ で、公式では $3\cdot 16+2=50$ となり一致する。