等差数列・等比数列の一般項

等差数列 $\{a_n\}$ は $a_5=17$, $a_{12}=45$ を満たす。一般項 $a_n$ を $n$ の式で表せ。

等差数列 $\{a_n\}$ は、第 $5$ 項が $13$、第 $12$ 項が $41$ である。$n$ を正の整数とするとき、一般項 $a_n$ を $n$ の式で表せ。

等差数列 $\{a_n\}$ は $a_2=11$, $a_6=-1$ を満たす。一般項 $a_n$ を $n$ の式で表せ。ただし、$n$ は正の整数とする。

等差数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とする。$S_5=35$, $S_{10}=120$ である。

また、等比数列 $\{b_n\}$ の公比は正の実数であり、$b_1=a_1$, $b_3=a_{13}$ を満たす。

$n$ を正の整数とするとき、和 $\sum _{k=1}^n(a_k+b_k)$ を $n$ の式で表せ。

数列 $\{a_n\}$ は
$$1,2,5,12,27,\dots$$
で始まる。$\{a_n\}$ の階差数列を $\{b_n\}$（$b_n=a_{n+1}-a_n$）とし、さらに $\{b_n\}$ の階差数列を $\{c_n\}$（$c_n=b_{n+1}-b_n$）とする。$\{c_n\}$ が等比数列であるとき、一般項 $a_n$ を $n$ の式で表せ。ただし $n$ は正の整数とする。

公比が実数である等比数列 $\{a_n\}$ が
$$a_1+a_2+a_3=7,a_4+a_5+a_6=56$$
を満たしている。初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とするとき、$S_n\geqq 2000$ となる最小の正の整数 $n$ を求めよ。

ある分割統治アルゴリズムは、大きさ $n$ の入力を大きさ $n/2$ の $4$ つの部分問題に分けて再帰的に解き、分割と統合に $n^2$ の手間をかける。その計算時間 $T(n)$ は、$0$ 以上の整数 $k$ に対して $n=2^k$ のとき
$$T(1)=2,T(n)=4T\left(\frac{n}{2}\right)+n^2(n\ge 2)$$
を満たす。$n=2^k$（$k$ は $0$ 以上の整数）のときの $T(n)$ を、$n$ の式で表せ。対数を使う場合は ${\log }_{2}n$ を用いてよい。

ある分割統治アルゴリズムは、大きさ $n$ の入力を大きさ $n/4$ の $2$ つの部分問題に分けて再帰的に解く。分割と統合には $\sqrt{n}$ の手間をかける。入力の大きさは $4$ のべき $n=4^k$（$k$ は $0$ 以上の整数）に限るものとし、計算時間 $T(n)$ は次の漸化式で定まるとする。
$$T(1)=1,T(n)=2T\left(\frac{n}{4}\right)+\sqrt{n}(n=4^k,k\ge 1)$$
$n=4^k$ のときの $T(n)$ を $n$ の式で表せ。対数を使う場合は、底を明示するか自然対数 $\log$ を用いて表すこと。

等差数列 $\{a_n\}$ は $a_1=3$ を満たし、公差は $0$ でない。また、$a_1,a_3,a_9$ はこの順に等比数列をなす。さらに、初項が $a_1$、第 $2$ 項が $a_3$ である等比数列を $\{b_n\}$ とする。$n$ を正の整数とするとき、和
$$T_n=\sum _{k=1}^n{a}_k{b}_k$$
を $n$ の式で表せ。

数列 $\{a_n\}$ は
$$a_1=3,a_{n+1}=3a_n-4n+2(n=1,2,3,\dots )$$
を満たす。$n$ を正の整数とするとき、初項から第 $n$ 項までの和 $\sum _{k=1}^n{a}_k$ を $n$ の式で表せ。

等差数列 $\{a_n\}$ は $a_3=7$, $a_7=19$ を満たす。また、等比数列 $\{b_n\}$ は公比が正の実数であり、$b_1=2$, $b_2+b_3=12$ を満たす。$n$ を正の整数とするとき、和
$$\sum _{k=1}^n{a}_k{b}_k$$
を $n$ の式で表せ。

公比が $1$ より大きい実数である等比数列 $\{b_n\}$ が
$$b_2=6,b_1+b_2+b_3=26$$
を満たしている。また、等差数列 $\{a_n\}$ は $a_1=b_1$, $a_5=b_3$ を満たしている。$n$ を正の整数とするとき、和
$$\sum _{k=1}^n{a}_k{b}_k$$
を $n$ の式で表せ。

数列 $\{a_n\}$ は $a_1=3$, $a_2=4$ を満たす。数列 $\{b_n\}$ を $b_n=a_{n+1}-a_n$ $(n=1,2,3,\dots )$ で定める（$\{a_n\}$ の階差数列）。数列 $\{b_n\}$ の階差数列 $\{b_{n+1}-b_n\}$ は、初項 $2$、公比 $2$ の等比数列である。このとき、$n$ を正の整数として、一般項 $a_n$ を $n$ の式で表せ。

$0$ 以上の整数全体を ${\mathbb{N}}_0$ とする。関数 $B:{\mathbb{N}}_0\times {\mathbb{N}}_0\to {\mathbb{N}}_0$ を、すべての $m,n\in {\mathbb{N}}_0$ に対して
$$B(0,n)=n+2,$$
$$B(m+1,0)=B(m,1),$$
$$B(m+1,n+1)=B(m,B(m+1,n))$$
を満たすものとして（アッカーマン関数と同様の二重帰納法で）定める。$B(3,1)$ の値を求めよ。

$\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots \}$（$0$ を含む）とし、関数 $G:\mathbb{N}\times \mathbb{N}\to \mathbb{N}$ を次の再帰で定める（アッカーマン関数の変形である）。すべての $m,n\in \mathbb{N}$ に対して
$$G(0,n)=n+1,$$
$$G(m+1,0)=G(m,2),$$
$$G(m+1,n+1)=G(m,G(m+1,n)).$$
この再帰は $(m,n)$ の辞書式順序に関する整礎帰納法によりすべての $(m,n)$ で値が定まる。$n$ を $0$ 以上の整数とするとき、$G(3,n)$ を $n$ の式で表せ。

すべての項が正の実数である数列 $\{a_n\}$ が、すべての正の整数 $n$ に対して
$$\sum _{k=1}^n{a}_k^3=2{\left(\sum _{k=1}^n{a}_k\right)}^2$$
を満たしている。このとき、一般項 $a_n$ を $n$ の式で表せ。

等差数列 $\{a_n\}$ は $a_3=8$, $a_7=20$ を満たす。また、等比数列 $\{b_n\}$ の公比は $1$ より大きい実数であり、$b_2=4$, $b_1+b_3=10$ を満たす。

$m$ を正の整数とする。$b_1,b_2,\dots ,b_{2m}$ の $2m$ 個の項のうち、数列 $\{a_n\}$ の項として現れないものすべての和を $m$ の式で表せ。

数列 $\{a_n\}$ は
$$a_1=1,a_2=3,a_{n+2}-3a_{n+1}+2a_n=2^{n+1}(n=1,2,3,\dots )$$
を満たす。一般項 $a_n$ を $n$ の式で表せ。

$\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots \}$（$0$ を含む）とし、関数 $A:\mathbb{N}\times \mathbb{N}\to \mathbb{N}$ をすべての $m,n\in \mathbb{N}$ について
$$A(0,n)=n+1,A(m+1,0)=A(m,1),A(m+1,n+1)=A(m,A(m+1,n))$$
で定める。

この定義をそのまま再帰手続きとして実行して $A(m,n)$ を計算する。すなわち、手続き $A(m,n)$ が呼ばれると、$m=0$ なら再帰呼び出しをせずに $n+1$ を返し、$m\ge 1,n=0$ なら $A(m-1,1)$ を $1$ 回呼んでその値を返し、$m\ge 1,n\ge 1$ ならまず $A(m,n-1)$ を呼んでその値 $r$ を得たのち $A(m-1,r)$ を呼んでその値を返す。最初の呼び出しも含めて、$A(m,n)$ の計算で手続き $A$ が呼ばれる回数の合計を $C(m,n)$ とする（たとえば $C(0,n)=1$、$C(1,0)=2$）。

$n\in \mathbb{N}$ に対し、$C(3,n)$ を $n$ の式で表せ。

$n$ を正の整数とする。$x$ の $n$ 次以下の多項式 $P(x)$ が $$P(k)=3^k(k=0,1,2,\dots ,n)$$ を満たしている。このとき、$P(n+2)$ を $n$ の式で表せ。

等差数列 $\{a_n\}$ は $a_3=12$, $a_6=27$ を満たす。また、公比が実数である等比数列 $\{b_n\}$ は $b_2=9$, $b_5=243$ を満たす。数列 $\{a_n\}$ の項であり、かつ数列 $\{b_n\}$ の項でもある数を小さい順に並べて、数列 $c_1,c_2,c_3,\dots$ をつくる。$n$ を正の整数とするとき、和 $$\sum _{k=1}^{n}k{c}_k$$ を $n$ の式で表せ。

数列 $\{a_n\}$ は
$$a_1=\frac{1}{3},a_{n+1}=\frac{(n+1)a_n}{2n-(n-1)a_n}(n=1,2,3,\dots )$$
を満たす。一般項 $a_n$ を $n$ の式で表せ。