数列の問題

等比数列 $\{b_n\}$ を求める。

公比を $r$ $(r>1)$ とすると、$b_1=\frac{6}{r}$, $b_3=6r$ である。$b_1+b_2+b_3=26$ より
$$\frac{6}{r}+6+6r=26$$
両辺に $r$ を掛けて整理すると
$$6r^2-20r+6=0\text{すなわち}3r^2-10r+3=0$$
$$(3r-1)(r-3)=0$$
$r>1$ より $r=3$ である。このとき $b_1=2$ となるので
$$b_n=2\cdot 3^{n-1}$$
である。また $b_3=18$ である。

等差数列 $\{a_n\}$ を求める。

公差を $d$ とすると、$a_1=b_1=2$, $a_5=a_1+4d=b_3=18$ より $4d=16$、すなわち $d=4$ である。よって
$$a_n=2+4(n-1)=4n-2$$

和を求める。

$$a_k{b}_k=(4k-2)\cdot 2\cdot 3^{k-1}=4(2k-1)\cdot 3^{k-1}$$
であるから、$U=\sum _{k=1}^n(2k-1)\cdot 3^{k-1}$ とおくと、求める和は $4U$ である。
$$U=1\cdot 1+3\cdot 3+5\cdot 3^2+\cdots +(2n-1)\cdot 3^{n-1}$$
$$3U=1\cdot 3+3\cdot 3^2+\cdots +(2n-3)\cdot 3^{n-1}+(2n-1)\cdot 3^n$$
辺々引くと
$$U-3U=1+2(3+3^2+\cdots +3^{n-1})-(2n-1)\cdot 3^n$$
ここで $3+3^2+\cdots +3^{n-1}=\frac{3(3^{n-1}-1)}{3-1}=\frac{3^n-3}{2}$ （$n=1$ のときも $0$ となり成り立つ）であるから
$$-2U=1+(3^n-3)-(2n-1)\cdot 3^n=-2+(2-2n)\cdot 3^n$$
よって
$$U=1+(n-1)\cdot 3^n$$
したがって
$$\sum _{k=1}^n{a}_k{b}_k=4U=4(n-1)\cdot 3^n+4$$

（確認：$n=1$ のとき $a_1{b}_1=2\cdot 2=4$、式の値も $4$。$n=2$ のとき $4+a_2{b}_2=4+6\cdot 6=40$、式の値も $4\cdot 9+4=40$ で一致する。）

$b_n=2\cdot 3^{n-1}$、$a_n=4n-2$ を求め、${\sum }_{k=1}^n{a}_k{b}_k=4(n-1)3^n+4$ を得る。

数列 $\{b_n\}$ を求める。 公比を $r$ とすると $b_1=6/r$、$b_3=6r$ である。$b_1+b_2+b_3=26$ より $6/r+6+6r=26$ なので、$6r+6/r=20$ となる。両辺に $r$ をかけて整理すると $3r^2-10r+3=0$、すなわち $(3r-1)(r-3)=0$ で、$r=3,1/3$ を得る。$r>1$ より $r=3$。よって $b_1=2$、$b_3=18$、$b_n=2\cdot 3^{n-1}$ となる。

数列 $\{a_n\}$ を求める。 $a_1=2$、$a_5=18$ なので、公差 $d$ は $4d=16$ より $d=4$。よって $a_n=4n-2$ となる。

和を求める。 $a_k{b}_k=(4k-2)\cdot 2\cdot 3^{k-1}=(8k-4)3^{k-1}$ である。

${\sum }_{k=1}^{n}k{3}^{k-1}=\frac{(2n-1)3^n+1}{4}$ （$n=1$ で $1$、$n=2$ で $7$ となり成り立つ）、${\sum }_{k=1}^n{3}^{k-1}=\frac{3^n-1}{2}$ を用いると、

$S=8\cdot \frac{(2n-1)3^n+1}{4}-4\cdot \frac{3^n-1}{2}=2(2n-1)3^n+2-2\cdot 3^n+2=4(n-1)3^n+4$。

検算。 $n=1$ のとき $a_1{b}_1=4$ で、式の値は $4$ で一致する。$n=2$ のとき $a_2{b}_2=6\cdot 6=36$ なので和は $40$ で、式の値は $4\cdot 9+4=40$ で一致する。