数列の問題

最初のいくつかの項を求めて予想する。

$n=1$ のとき $a_1^3=2a_1^2$。$a_1>0$ より両辺を $a_1^2$ で割って $a_1=2$。

$n=2$ のとき $8+a_2^3=2(2+a_2{)}^2=8+8a_2+2a_2^2$ より $a_2^3-2a_2^2-8a_2=0$。$a_2>0$ より $a_2^2-2a_2-8=0$、$(a_2-4)(a_2+2)=0$ から $a_2=4$。

これらから $a_n=2n$ と予想できる。

数学的帰納法で示す。 「$a_k=2k(k=1,2,\dots ,n)$」が成り立つことを $(A_n)$ とする。

[1] $n=1$ のとき、上で示したように $a_1=2$ なので $(A_1)$ は成り立つ。

[2] $(A_n)$ が成り立つと仮定する。このとき
$$\sum _{k=1}^n{a}_k=\sum _{k=1}^{n}2k=n(n+1),\sum _{k=1}^n{a}_k^3=\sum _{k=1}^{n}8k^3=8{\left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}}^2=2n^2(n+1{)}^2$$
$x=a_{n+1}$ とおくと、与えられた等式で $n$ を $n+1$ にしたものから
$$2n^2(n+1{)}^2+x^3=2\{n(n+1)+x{\}}^2=2n^2(n+1{)}^2+4n(n+1)x+2x^2$$
よって
$$x^3-2x^2-4n(n+1)x=0$$
$x>0$ なので両辺を $x$ で割ると
$$x^2-2x-4n(n+1)=0$$
解の公式より
$$x=1\pm \sqrt{1+4n(n+1)}=1\pm \sqrt{(2n+1{)}^2}=1\pm (2n+1)$$
$x>0$ より $x=2n+2=2(n+1)$。したがって $a_{n+1}=2(n+1)$ となり、$(A_{n+1})$ も成り立つ。

[1], [2] より、すべての正の整数 $n$ について $a_n=2n$ である。

（なお、$a_n=2n$ のとき $\sum _{k=1}^n{a}_k^3=2n^2(n+1{)}^2$、$2{\left({\sum }_{k=1}^n{a}_k\right)}^2=2n^2(n+1{)}^2$ となり、条件を満たしている。）

答え: $a_n=2n$

$S_n={\sum }_{k=1}^n{a}_k$、$S_0=0$ とおくと、条件は ${\sum }_{k=1}^n{a}_k^3=2S_n^2$。

$n=1$: $a_1^3=2a_1^2$。$a_1>0$ より $a_1=2$。

$n\ge 2$ のとき、$n$ の式から $n-1$ の式を引くと
$a_n^3=2(S_n^2-S_{n-1}^2)=2(S_n-S_{n-1})(S_n+S_{n-1})=2a_n(2S_{n-1}+a_n)$。
$a_n>0$ で割って $a_n^2=4S_{n-1}+2a_n$ …①。

①の $n$ を $n-1$ にした式（$n\ge 3$ で成り立つ）$a_{n-1}^2=4S_{n-2}+2a_{n-1}$ を引くと
$a_n^2-a_{n-1}^2=4a_{n-1}+2a_n-2a_{n-1}=2a_n+2a_{n-1}$。
よって $(a_n+a_{n-1})(a_n-a_{n-1}-2)=0$。$a_n+a_{n-1}>0$ より $a_n-a_{n-1}=2$（$n\ge 3$）。

また $n=2$ のとき①は $a_2^2=4a_1+2a_2=8+2a_2$ より $(a_2-4)(a_2+2)=0$、$a_2>0$ から $a_2=4$、よって $a_2-a_1=2$ も成り立つ。

以上より $\{a_n\}$ は初項 $2$、公差 $2$ の等差数列で $a_n=2n$。

検算: $a_k=2k$ のとき $\sum a_k^3=8{\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)}^2=2n^2(n+1{)}^2$、$2{\left(\sum a_k\right)}^2=2(n(n+1){)}^2=2n^2(n+1{)}^2$ で一致する。