数学的帰納法と一般項の推定

数列 $\{a_n\}$ は次の条件で定められている。$$a_1=2,a_{n+1}=2-\frac{1}{a_n}(n=1,2,3,\dots )$$ 初めの数項を計算して一般項 $a_n$ を推定し、それが正しいことを数学的帰納法で確かめたうえで、$a_{10}$ の値を求めよ。

数列 $\{a_n\}$ は次の条件で定められている。
$$a_1=\frac{1}{3},a_{n+1}=\frac{1}{2-a_n}(n=1,2,3,\dots )$$
$a_2,a_3,a_4$ を計算して一般項 $a_n$ を推定し、その推定が正しいことを数学的帰納法で確かめたうえで、$a_{10}$ の値を求めよ。

数列 $\{a_n\}$ は
$$a_1=\frac{1}{2},a_{n+1}=\frac{a_n}{1+2a_n}(n=1,2,3,\dots )$$
を満たす。初めの数項を計算して一般項 $a_n$ を推定し、それが正しいことを数学的帰納法で示したうえで、$a_{10}$ の値を求めよ。

数列 $\{a_n\}$ は
$$a_1=3,a_{n+1}=\frac{a_n^2-1}{n+1}(n=1,2,3,\dots )$$
を満たす。和 $\sum _{k=1}^{30}{a}_k$ の値を求めよ。

数列 $\{a_n\}$ は
$$a_1=3,a_{n+1}=a_n^2-2n{a}_n+2(n=1,2,3,\dots )$$
を満たす。和
$$\sum _{k=1}^{20}\frac{1}{a_k{a}_{k+1}}$$
の値を求めよ。

$n\ge 2$ を整数とし、命題変数 $p_1,p_2,\dots ,p_n$ に対して論理式
$${\psi }_n=\underset{i=1}{\overset{n-1}{\bigwedge }}\neg (p_i\wedge p_{i+1})=\neg (p_1\wedge p_2)\wedge \neg (p_2\wedge p_3)\wedge \cdots \wedge \neg (p_{n-1}\wedge p_n)$$
を考える。真理値割り当て $v:\{p_1,\dots ,p_n\}\to \{\mathrm{T},\mathrm{F}\}$（全部で $2^n$ 個）のうち ${\psi }_n$ を真にするものの個数を $s_n$ とする。

フィボナッチ数を $F_1=F_2=1$, $F_{m+2}=F_{m+1}+F_m$ $(m\ge 1)$ で定めるとき、すべての整数 $n\ge 2$ について $s_n=F_{n+2}$ であることを証明せよ。

この問題では $\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots \}$（$0$ を含む）とする。関数 $A:\mathbb{N}\times \mathbb{N}\to \mathbb{N}$ を次の再帰式で定める（アッカーマン・ペーター関数）。
$$A(0,n)=n+1,A(m+1,0)=A(m,1),A(m+1,n+1)=A(m,A(m+1,n))(m,n\in \mathbb{N}).$$
この再帰式によって $A$ がすべての $(m,n)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N}$ で一意に定まる全域関数であることは用いてよい。

すべての $n\in \mathbb{N}$ に対して
$$A(3,n)=2^{n+3}-3$$
が成り立つことを証明せよ。

数列 $\{a_n\}$ は
$$a_1=3,a_{n+1}=a_n^2-2n{a}_n+2(n=1,2,3,\dots )$$
を満たす。このとき、
$$S=\sum _{k=1}^{20}\frac{1}{a_k{a}_{k+1}}$$
の値を求めよ。

数列 $\{a_n\}$ は
$$a_1=1,a_{n+1}=\frac{3a_n-1}{4a_n-1}(n=1,2,3,\dots )$$
を満たす。$a_n<\frac{51}{100}$ となる最小の正の整数 $n$ を求めよ。

すべての項が正の実数である数列 $\{a_n\}$ が、すべての正の整数 $n$ に対して
$$\sum _{k=1}^n{a}_k^3=2{\left(\sum _{k=1}^n{a}_k\right)}^2$$
を満たしている。このとき、一般項 $a_n$ を $n$ の式で表せ。

すべての項が正の実数である数列 $\{a_n\}$ があり、$S_n=\sum _{k=1}^n{a}_k$ とおくと、すべての正の整数 $n$ に対して
$$\sum _{k=1}^n{a}_k^3=2S_n^2-S_n$$
が成り立つ。このとき、
$$\sum _{k=1}^{30}\frac{1}{a_k{a}_{k+1}}$$
の値を求めよ。

$\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots \}$（$0$ を含む）とし、関数 $A:\mathbb{N}\times \mathbb{N}\to \mathbb{N}$ をすべての $m,n\in \mathbb{N}$ について
$$A(0,n)=n+1,A(m+1,0)=A(m,1),A(m+1,n+1)=A(m,A(m+1,n))$$
で定める。

この定義をそのまま再帰手続きとして実行して $A(m,n)$ を計算する。すなわち、手続き $A(m,n)$ が呼ばれると、$m=0$ なら再帰呼び出しをせずに $n+1$ を返し、$m\ge 1,n=0$ なら $A(m-1,1)$ を $1$ 回呼んでその値を返し、$m\ge 1,n\ge 1$ ならまず $A(m,n-1)$ を呼んでその値 $r$ を得たのち $A(m-1,r)$ を呼んでその値を返す。最初の呼び出しも含めて、$A(m,n)$ の計算で手続き $A$ が呼ばれる回数の合計を $C(m,n)$ とする（たとえば $C(0,n)=1$、$C(1,0)=2$）。

$n\in \mathbb{N}$ に対し、$C(3,n)$ を $n$ の式で表せ。

数列 $\{a_n\}$ は
$$a_1=1,a_{n+1}=2a_n+\sqrt{3a_n^2-2}(n=1,2,3,\dots )$$
を満たす。$a_{10}$ の値を求めよ。

数列 $\{a_n\}$ は次の条件で定められている。
$$a_1=1,a_2=3,a_{n+2}=\frac{a_{n+1}^2+2}{a_n}(n=1,2,3,\dots )$$
このとき、和
$$S=\sum _{k=1}^{10}\frac{1}{a_k{a}_{k+1}}$$
の値を求めよ。

数列 $\{a_n\}$ は
$$a_1=\frac{1}{3},a_{n+1}=\frac{(n+1)a_n}{2n-(n-1)a_n}(n=1,2,3,\dots )$$
を満たす。一般項 $a_n$ を $n$ の式で表せ。

二項係数を次のように並べた数列を考え、図のように群に分ける。
$$1|1,1|1,2,1|1,3,3,1|1,4,6,4,1|1,\dots$$
すなわち、$m$ を正の整数とするとき、第 $m$ 群は $m$ 個の項
$${}_{m-1}{\mathrm{C}}_0,{}_{m-1}{\mathrm{C}}_1,\dots ,{}_{m-1}{\mathrm{C}}_{m-1}$$
をこの順に並べたものである。第 $1$ 群から第 $100$ 群までに含まれる項のうち、奇数であるものの個数を求めよ。