数列の問題

1. 初めの数項を計算する

漸化式に順に代入する。
$$a_2=\frac{\frac{1}{2}}{1+2\cdot \frac{1}{2}}=\frac{\frac{1}{2}}{2}=\frac{1}{4}$$
$$a_3=\frac{\frac{1}{4}}{1+2\cdot \frac{1}{4}}=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{2}}=\frac{1}{6}$$
$$a_4=\frac{\frac{1}{6}}{1+2\cdot \frac{1}{6}}=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{4}{3}}=\frac{1}{8}$$

2. 一般項を推定する

$a_1=\frac{1}{2},a_2=\frac{1}{4},a_3=\frac{1}{6},a_4=\frac{1}{8}$ より、分母が $2,4,6,8$ と $2n$ になっているので
$$a_n=\frac{1}{2n}\cdots (1)$$
と推定できる。

3. 数学的帰納法で証明する

[I] $n=1$ のとき、$(1)$ の右辺は $\frac{1}{2\cdot 1}=\frac{1}{2}$ であり、$a_1=\frac{1}{2}$ と一致するので $(1)$ は成り立つ。

[II] $n=k$ のとき $(1)$ が成り立つ、すなわち $a_k=\frac{1}{2k}$ と仮定する。漸化式より
$$a_{k+1}=\frac{a_k}{1+2a_k}=\frac{\frac{1}{2k}}{1+\frac{1}{k}}=\frac{\frac{1}{2k}}{\frac{k+1}{k}}=\frac{1}{2k}\cdot \frac{k}{k+1}=\frac{1}{2(k+1)}$$
よって、$n=k+1$ のときも $(1)$ は成り立つ。

[I], [II] から、すべての正の整数 $n$ について $a_n=\frac{1}{2n}$ が成り立つ。

4. $a_{10}$ を求める

$(1)$ に $n=10$ を代入して
$$a_{10}=\frac{1}{2\cdot 10}=\frac{1}{20}$$

まず初めの数項を計算する。$a_1=\frac{1}{2}$。
$a_2=\frac{1/2}{1+2\cdot \frac{1}{2}}=\frac{1/2}{2}=\frac{1}{4}$。
$a_3=\frac{1/4}{1+2\cdot \frac{1}{4}}=\frac{1/4}{3/2}=\frac{1}{6}$。
$a_4=\frac{1/6}{1+\frac{1}{3}}=\frac{1/6}{4/3}=\frac{1}{8}$。
よって $a_n=\frac{1}{2n}$ と推定できる。

数学的帰納法で示す。
(i) $n=1$ のとき、$a_1=\frac{1}{2}=\frac{1}{2\cdot 1}$ で成り立つ。
(ii) $n=k$ のとき $a_k=\frac{1}{2k}$ と仮定する。すると
$a_{k+1}=\frac{\frac{1}{2k}}{1+2\cdot \frac{1}{2k}}=\frac{\frac{1}{2k}}{\frac{k+1}{k}}=\frac{1}{2k}\cdot \frac{k}{k+1}=\frac{1}{2(k+1)}$。
よって $n=k+1$ でも成り立つ。
(i)(ii)より、すべての自然数 $n$ について $a_n=\frac{1}{2n}$。

したがって $a_{10}=\frac{1}{20}$。

検算：逆数をとると $\frac{1}{a_{n+1}}=\frac{1}{a_n}+2$ となり、$\frac{1}{a_1}=2$ から $\frac{1}{a_n}=2n$ で、一致する。