数列の問題

方針 漸化式の右辺が分数の形をしているので、逆数 $b_n=\frac{1}{a_n}$ と置き換えて、$b_n$ についての漸化式に直す。

置き換え すべての $n$ で $a_n>0$ なので、$a_n\ne 0$ であり逆数がとれる。漸化式の両辺の逆数をとると
$$\frac{1}{a_{n+1}}=\frac{a_n+3}{a_n}=1+\frac{3}{a_n}.$$
ここで $b_n=\frac{1}{a_n}$ とおくと
$$b_{n+1}=3b_n+1,b_1=\frac{1}{a_1}=1.$$
これは $b_{n+1}=p{b}_n+q$ 型の漸化式である。

$b_n$ を求める 特性方程式 $\alpha =3\alpha +1$ を解くと $\alpha =-\frac{1}{2}$ である。よって漸化式は
$$b_{n+1}+\frac{1}{2}=3\left(b_n+\frac{1}{2}\right)$$
と変形できる。数列 $\left\{b_n+\frac{1}{2}\right\}$ は初項 $b_1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$、公比 $3$ の等比数列であるから
$$b_n+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\cdot 3^{n-1}=\frac{3^n}{2}.$$
したがって
$$b_n=\frac{3^n-1}{2}.$$

もとに戻す $a_n=\frac{1}{b_n}$ より
$$a_n=\frac{2}{3^n-1}.$$

確認 $n=1$ のとき $\frac{2}{3-1}=1=a_1$。また漸化式から $a_2=\frac{1}{1+3}=\frac{1}{4}$ で、式からも $\frac{2}{9-1}=\frac{1}{4}$ となり一致する。

答え $a_n=\frac{2}{3^n-1}$

$a_n>0$ なので $b_n=\frac{1}{a_n}$ とおける。漸化式の両辺の逆数をとると $b_{n+1}=\frac{a_n+3}{a_n}=1+3b_n$ で、$b_1=1$ である。

$b_{n+1}+\frac{1}{2}=3\left(b_n+\frac{1}{2}\right)$ と変形できる。よって数列 $\left\{b_n+\frac{1}{2}\right\}$ は初項 $\frac{3}{2}$、公比 $3$ の等比数列で、$b_n+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\cdot 3^{n-1}=\frac{3^n}{2}$ となる。したがって $b_n=\frac{3^n-1}{2}$ であり、$a_n=\frac{2}{3^n-1}$ を得る。

検算: $a_1=\frac{2}{2}=1$。$a_2=\frac{1}{1+3}=\frac{1}{4}$ で、公式では $\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$ となり一致する。$a_3=\frac{1/4}{1/4+3}=\frac{1}{13}$ で、公式では $\frac{2}{26}=\frac{1}{13}$ となり一致する。