数列の問題

方針 漸化式の右辺が分数の形なので、両辺の逆数をとり、$b_n=\frac{1}{a_n}$ と置き換えて、$b_{n+1}=p{b}_n+q$ 型の漸化式に直します。

1. 逆数をとる
すべての $n$ について $a_n>0$ なので、$a_n\ne 0$、$a_{n+1}\ne 0$ です。漸化式の両辺の逆数をとると
$$\frac{1}{a_{n+1}}=\frac{a_n+3}{a_n}=1+\frac{3}{a_n}.$$

2. 置き換える
$b_n=\frac{1}{a_n}$ とおくと
$$b_{n+1}=3b_n+1,b_1=\frac{1}{a_1}=1.$$
これは $b_{n+1}=p{b}_n+q$ 型の漸化式です。

3. $b_n$ を求める
特性方程式 $\alpha =3\alpha +1$ を解くと $\alpha =-\frac{1}{2}$ です。よって漸化式は
$$b_{n+1}+\frac{1}{2}=3\left(b_n+\frac{1}{2}\right)$$
と変形できます。数列 $\left\{b_n+\frac{1}{2}\right\}$ は、初項 $b_1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$、公比 $3$ の等比数列です。したがって
$$b_n+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\cdot 3^{n-1}=\frac{3^n}{2}$$
となり、
$$b_n=\frac{3^n-1}{2}.$$

4. もとに戻す
$a_n=\frac{1}{b_n}$ なので
$$a_n=\frac{2}{3^n-1}.$$

確かめ 漸化式から $a_2=\frac{1}{1+3}=\frac{1}{4}$ です。式で計算しても $a_2=\frac{2}{3^2-1}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$ となり、一致します。

答え: $a_n=\frac{2}{3^n-1}$

$a_n>0$ より $b_n=\frac{1}{a_n}$ が定義できる。漸化式の両辺の逆数をとると $$b_{n+1}=\frac{a_n+3}{a_n}=1+\frac{3}{a_n}=1+3b_n.$$ 特性方程式 $\alpha =1+3\alpha$ より $\alpha =-\frac{1}{2}$。よって $$b_{n+1}+\frac{1}{2}=3\left(b_n+\frac{1}{2}\right).$$ $b_1=1$ より $b_1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$ であるから、$$b_n+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\cdot 3^{n-1}=\frac{3^n}{2}.$$ したがって $b_n=\frac{3^n-1}{2}$、すなわち $$a_n=\frac{2}{3^n-1}.$$ 検算：$n=1$ で $a_1=\frac{2}{2}=1$。$n=2$ で $a_2=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$。漸化式から $a_2=\frac{1}{1+3}=\frac{1}{4}$ で一致する。$n=3$ では $a_3=\frac{2}{26}=\frac{1}{13}$。漸化式から $a_3=\frac{1/4}{1/4+3}=\frac{1/4}{13/4}=\frac{1}{13}$ で一致する。