置き換えによる漸化式の解法

$b_{n} = n a_{n}$ や $b_{n} = \frac{a _{n}}{2 ^{n}}$ 、 $b_{n} = \frac{1}{a _{n}}$ などと置き換えて、 $(n + 1) a_{n + 1} = 2 n a_{n} + n + 1$ や $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 3^{n}$ のような漸化式を等比型・階差型に直し、一般項を求められる

前提

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算数中学高校大学大学院

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説明

$a_{n + 1} = 2 a_{n} + 3^{n}$ のように $3^{n}$ などの余計な項がついた漸化式や、 $(n + 1) a_{n + 1} = 2 n a_{n} + n + 1$ のように係数に $n$ がからむ漸化式は、そのままでは前に学んだ型に当てはまりません。そこで、別の数列 $b_{n}$ を $b_{n} = \frac{a _{n}}{3 ^{n}}$ 、 $b_{n} = n a_{n}$ 、 $b_{n} = \frac{1}{a _{n}}$ などと置き、 $b_{n}$ についての漸化式を作ります。うまく置けば $b_{n}$ の漸化式は $b_{n + 1} = p b_{n} + q$ 型や階差型、等差型になるので、 $b_{n}$ を求めてから $a_{n}$ に戻せば一般項が求まります。

なぜそうしてよいのか

漸化式を解きにくくしているのは、「 $n$ によって変わる邪魔な部分」です。たとえば $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 3^{n}$ では $3^{n}$ が邪魔です。両辺を $3^{n + 1}$ で割ると $\frac{a _{n + 1}}{3 ^{n + 1}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{a _{n}}{3 ^{n}} + \frac{1}{3}$ となり、 $3^{n}$ の項が定数 $\frac{1}{3}$ に変わります。しかも左辺の $\frac{a _{n + 1}}{3 ^{n + 1}}$ と右辺の $\frac{a _{n}}{3 ^{n}}$ は「同じ形の式の $n$ を $n + 1$ にずらしたもの」なので、 $b_{n} = \frac{a _{n}}{3 ^{n}}$ と置けば $b_{n + 1} = \frac{2}{3} b_{n} + \frac{1}{3}$ と、すでに解ける $b_{n + 1} = p b_{n} + q$ 型になります。置き換えのコツは、左辺の式と右辺の式が「 $n$ と $n + 1$ だけが違う同じ形」になるようにまとめることです。

同じ考えで、 $(n + 1) a_{n + 1} = 2 n a_{n} + n + 1$ なら、 $(n + 1) a_{n + 1}$ と $n a_{n}$ が同じ形なので $b_{n} = n a_{n}$ と置けて $b_{n + 1} = 2 b_{n} + n + 1$ になります（このあと両辺を $2^{n + 1}$ で割れば $c_{n} = \frac{b _{n}}{2 ^{n}}$ について $c_{n + 1} = c_{n} + \frac{n + 1}{2 ^{n + 1}}$ という階差型になり、（等差）×（等比）の和で解けます）。また $a_{n + 1} = \frac{a _{n}}{2 a _{n} + 1}$ のような分数の形は、逆数をとると $\frac{1}{a _{n + 1}} = \frac{2 a _{n} + 1}{a _{n}} = \frac{1}{a _{n}} + 2$ となるので、 $b_{n} = \frac{1}{a _{n}}$ と置けば公差 $2$ の等差数列です。ただし逆数をとるには、すべての $n$ で $a_{n} \neq = 0$ であることを確かめておく必要があります。

どの置き換えでも、 $b_{n}$ は $a_{n}$ から決まり、逆に $a_{n}$ も $b_{n}$ から（ $a_{n} = 3^{n} b_{n}$ 、 $a_{n} = \frac{b _{n}}{n}$ 、 $a_{n} = \frac{1}{b _{n}}$ のように）求め直せます。だから $b_{n}$ が求まれば $a_{n}$ も求まるのです。

手順

漸化式を見て、解きにくくしている部分（ $3^{n}$ のような項、 $n a_{n}$ のような $n$ との積、分数の形）を見つける。
左辺と右辺が「 $n$ と $n + 1$ だけ違う同じ形」になるように式を変形する。例: 両辺を $3^{n + 1}$ で割る、 $n$ との積をまとめる、逆数をとる（このときは $a_{n} \neq = 0$ を確認）。
その同じ形の式を $b_{n}$ と置き、 $b_{n}$ の漸化式と初項 $b_{1}$ を書く（ $b_{1}$ は $a_{1}$ から計算し直す。例: $b_{1} = \frac{a _{1}}{3}$ ）。
$b_{n}$ の漸化式を、 $b_{n + 1} = p b_{n} + q$ 型（特性方程式）・階差型・等差型として解き、 $b_{n}$ を求める。
$b_{n}$ を $a_{n}$ に戻し（例: $a_{n} = 3^{n} b_{n}$ ）、 $n = 1, 2$ を代入して漸化式と合うか確かめる。

例題

$a_{1} = 1, a_{n + 1} = 2 a_{n} + 3^{n} (n = 1, 2, 3, \dots)$ で定められる数列 ${a_{n}}$ の一般項を求めよ。

例題の解答

【手順1】邪魔なのは $3^{n}$ の項である。
【手順2】両辺を $3^{n + 1}$ で割ると
$\frac{a _{n + 1}}{3 ^{n + 1}} = \frac{2 a _{n}}{3 ^{n + 1}} + \frac{3 ^{n}}{3 ^{n + 1}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{a _{n}}{3 ^{n}} + \frac{1}{3}$
左辺の $\frac{a _{n + 1}}{3 ^{n + 1}}$ と右辺の $\frac{a _{n}}{3 ^{n}}$ が同じ形になった。
【手順3】 $b_{n} = \frac{a _{n}}{3 ^{n}}$ と置くと $b_{n + 1} = \frac{2}{3} b_{n} + \frac{1}{3}$ 、初項は $b_{1} = \frac{a _{1}}{3} = \frac{1}{3}$ 。
【手順4】特性方程式 $α = \frac{2}{3} α + \frac{1}{3}$ を解くと $α = 1$ 。よって $b_{n + 1} - 1 = \frac{2}{3} (b_{n} - 1)$ となり、数列 ${b_{n} - 1}$ は初項 $b_{1} - 1 = - \frac{2}{3}$ 、公比 $\frac{2}{3}$ の等比数列である。したがって
$b_{n} - 1 = - \frac{2}{3} (\frac{2}{3})^{n - 1} = - (\frac{2}{3})^{n}, b_{n} = 1 - (\frac{2}{3})^{n}$
【手順5】 $a_{n} = 3^{n} b_{n} = 3^{n} - 3^{n} \cdot \frac{2 ^{n}}{3 ^{n}} = 3^{n} - 2^{n}$ 。
確認: $a_{1} = 3 - 2 = 1$ 、 $a_{2} = 9 - 4 = 5$ で、漸化式からも $a_{2} = 2 \cdot 1 + 3^{1} = 5$ となり一致する。
（別解: 両辺を $2^{n + 1}$ で割り $c_{n} = \frac{a _{n}}{2 ^{n}}$ と置くと $c_{n + 1} = c_{n} + \frac{1}{2} (\frac{3}{2})^{n}$ の階差型になり、同じ答えが得られる。）
答え: $a_{n} = 3^{n} - 2^{n}$

答え: $3^{n} - 2^{n}$

よくある誤り

両辺を $3^{n + 1}$ で割ったとき、 $\frac{2 a _{n}}{3 ^{n + 1}}$ をそのまま $2 b_{n}$ としてしまう誤り。正しくは $\frac{2 a _{n}}{3 ^{n + 1}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{a _{n}}{3 ^{n}} = \frac{2}{3} b_{n}$ で、分母の $3$ が $1$ つ余る。
初項を $b_{1} = a_{1}$ のまま使ってしまう誤り。正しくは置き換えの式に $n = 1$ を代入して計算し直す。例えば $b_{n} = \frac{a _{n}}{3 ^{n}}$ なら $b_{1} = \frac{a _{1}}{3}$ 、 $b_{n} = n a_{n}$ なら $b_{1} = 1 \cdot a_{1}$ 。
$a_{n + 1} = \frac{a _{n}}{2 a _{n} + 1}$ の逆数を $\frac{1}{a _{n + 1}} = \frac{1}{a _{n}} + \frac{1}{2 a _{n} + 1}$ のように分けてしまう誤り。正しくは $\frac{1}{a _{n + 1}} = \frac{2 a _{n} + 1}{a _{n}} = 2 + \frac{1}{a _{n}}$ 。また逆数をとる前に、すべての $n$ で $a_{n} \neq = 0$ であること（例えば $a_{1} > 0$ ならすべての $a_{n} > 0$ ）を確かめる。
$b_{n}$ を求めたところで終えたり、戻すときに $a_{n} = \frac{b _{n}}{3 ^{n}}$ と逆に掛け割りしてしまう誤り。正しくは $b_{n} = \frac{a _{n}}{3 ^{n}}$ から $a_{n} = 3^{n} b_{n}$ と戻す。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

$S_{n}$ と $a_{n}$ の関係式（数学B 数列）
分割統治の漸化式の厳密な解（大学数学アルゴリズムと計算量）
潜性致死遺伝子の頻度の世代変化（高校生物生物の進化と系統）