$S_{n}$ と $a_{n}$ の関係式

$S_{n} = 2 a_{n} - n^{2}$ のような関係式で $n$ を $n + 1$ にした式との差をとり（ $S_{n + 1} - S_{n} = a_{n + 1}$ ）、 $a_{n}$ の漸化式を作って $a_{n}$ や $S_{n}$ を求められる

前提

和 $S_{n}$ から一般項を求める（数学B 数列）
置き換えによる漸化式の解法（数学B 数列）

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算数中学高校大学大学院

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置き換えによる漸化式の解法（数学B 数列）

説明

$S_{n} = 2 a_{n} - n^{2}$ のように、和 $S_{n}$ と一般項 $a_{n}$ が混ざった関係式だけが与えられ、 $S_{n}$ が $n$ の式として直接わからない場面で使う技能です。関係式の $n$ を $n + 1$ に置き換えた式との差をとると $S$ が消え、 $a_{n}$ だけの漸化式が得られます。その漸化式を解けば $a_{n}$ が求まり、元の関係式に代入すれば $S_{n}$ も求まります。

なぜそうしてよいのか

$S_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$ ですから、どの自然数 $n$ についても $S_{n + 1} - S_{n} = a_{n + 1}$ が成り立ちます。与えられた関係式がすべての自然数 $n$ で成り立つなら、 $n$ を $n + 1$ に置き換えた式も成り立ちます。そこで 2 つの式を引き算すると、左辺は $S_{n + 1} - S_{n} = a_{n + 1}$ になり、和 $S$ が消えて $a_{n + 1}$ と $a_{n}$ だけの式、つまり漸化式になります。

漸化式を解くには最初の項 $a_{1}$ が必要です。これは $S_{1} = a_{1}$ （和の最初は 1 項だけ）を使い、関係式に $n = 1$ を代入して求めます。

前提の技能の $a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}$ を使っても同じ漸化式が得られます。ただしこの式は $S_{0}$ が定義されていないので $n ≧ 2$ でしか使えません。 $n + 1$ に置き換える方法なら $n ≧ 1$ で使えるので、範囲の確認がらくになります。

手順

関係式に $n = 1$ を代入し、 $S_{1} = a_{1}$ を使って $a_{1}$ を求める
関係式の $n$ を $n + 1$ に置き換えた式を書く（例: $S_{n + 1} = 2 a_{n + 1} - (n + 1)^{2}$ ）
( $n + 1$ の式)−(元の式) を計算し、左辺の $S_{n + 1} - S_{n}$ を $a_{n + 1}$ に置き換えて、 $a_{n + 1}$ と $a_{n}$ の漸化式（ $n ≧ 1$ ）を作る
得られた漸化式を、手順 1 の $a_{1}$ を初項として解き、 $a_{n}$ を求める（ $a_{n + 1} = p a_{n} + q$ 型・置き換えなど）
$S_{n}$ も求めるときは、求めた $a_{n}$ を元の関係式に代入する

例題

数列 ${a_{n}}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_{n}$ が、すべての自然数 $n$ について $S_{n} = 2 a_{n} - n$ を満たす。一般項 $a_{n}$ を求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $n = 1$ を代入すると $S_{1} = 2 a_{1} - 1$ 。 $S_{1} = a_{1}$ なので $a_{1} = 2 a_{1} - 1$ 、よって $a_{1} = 1$ 。

【手順 2】 $n$ を $n + 1$ に置き換えると $S_{n + 1} = 2 a_{n + 1} - (n + 1)$ 。

【手順 3】この式から $S_{n} = 2 a_{n} - n$ を引くと
$S_{n + 1} - S_{n} = 2 a_{n + 1} - 2 a_{n} - 1$
左辺は $a_{n + 1}$ なので $a_{n + 1} = 2 a_{n + 1} - 2 a_{n} - 1$ 。整理して $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 1 (n ≧ 1)$ 。

【手順 4】 $α = 2 α + 1$ を解くと $α = - 1$ 。漸化式は $a_{n + 1} + 1 = 2 (a_{n} + 1)$ と変形できるので、数列 ${a_{n} + 1}$ は初項 $a_{1} + 1 = 2$ 、公比 $2$ の等比数列である。よって $a_{n} + 1 = 2 \cdot 2^{n - 1} = 2^{n}$ 、すなわち $a_{n} = 2^{n} - 1$ 。

（確認： $S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} (2^{k} - 1) = 2^{n + 1} - 2 - n$ 、 $2 a_{n} - n = 2^{n + 1} - 2 - n$ で一致する。）

答え: $2^{n} - 1$

よくある誤り

$a_{1}$ を求めずに漸化式だけ解こうとしてしまう誤り。正しくは関係式に $n = 1$ を代入し、 $S_{1} = a_{1}$ から $a_{1}$ を決める（例: $S_{n} = 2 a_{n} - n$ なら $a_{1} = 2 a_{1} - 1$ より $a_{1} = 1$ ）。
差をとったとき $S_{n + 1} - S_{n} = a_{n}$ としてしまう誤り。正しくは $S_{n + 1} - S_{n} = a_{n + 1}$ で、両辺に $a_{n + 1}$ が現れるので移項して整理する（例: $a_{n + 1} = 2 a_{n + 1} - 2 a_{n} - 1$ から $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 1$ ）。
$n$ を含む項の差を雑に計算してしまう誤り。例えば $S_{n} = 2 a_{n} - n^{2}$ で $- (n + 1)^{2} - (- n^{2}) = - 1$ とするのは誤りで、正しくは $- (n + 1)^{2} + n^{2} = - (2 n + 1)$ となり、 $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 2 n + 1$ が得られる。
$a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}$ を使ったのに、その漸化式を $n = 1$ でも使ってしまう誤り。 $S_{0}$ は定義されていないので、この方法で得た $a_{n} = 2 a_{n - 1} + 1$ は $n ≧ 2$ でだけ成り立ち、 $a_{1}$ は別に $S_{1} = a_{1}$ から求める。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

$S_{n}$ と $a_{n}$ の関係式

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題

Sn​ と an​ の関係式

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題

$S_{n}$ と $a_{n}$ の関係式