数列の問題

手順1：初項を求める

与えられた式で $n=1$ とします。$S_1=a_1$ なので
$$a_1=2a_1-3$$
より $a_1=3$ です。

手順2：$n$ を $n+1$ にした式との差をとる

与えられた式は、すべての正の整数 $n$ で成り立つので、$n$ を $n+1$ にした式も成り立ちます。
$$S_{n+1}=2a_{n+1}-3(n+1)\cdots (1)$$
$$S_n=2a_n-3n\cdots (2)$$
$(1)-(2)$ を計算します。左辺は $S_{n+1}-S_n=a_{n+1}$ なので
$$a_{n+1}=2a_{n+1}-2a_n-3$$
これを整理すると
$$a_{n+1}=2a_n+3$$
という漸化式が得られます。

手順3：漸化式を解く

特性方程式 $\alpha =2\alpha +3$ を解くと $\alpha =-3$ です。よって漸化式は
$$a_{n+1}+3=2(a_n+3)$$
と変形できます。数列 $\{a_n+3\}$ は初項 $a_1+3=6$、公比 $2$ の等比数列なので
$$a_n+3=6\cdot 2^{n-1}=3\cdot 2^n$$
したがって
$$a_n=3\cdot 2^n-3$$

（確認：$a_1=3$, $a_2=9$ で、$S_2=12$、$2a_2-3\cdot 2=12$ となり成り立ちます。）

手順4：$a_{10}$ を求める
$$a_{10}=3\cdot 2^{10}-3=3\cdot 1024-3=3069$$

$n=1$ のとき $S_1=a_1=2a_1-3$ より $a_1=3$。
$n\ge 2$ のとき $a_n=S_n-S_{n-1}=2a_n-3n-2a_{n-1}+3(n-1)$ より $a_n=2a_{n-1}+3$。
これを $a_n+3=2(a_{n-1}+3)$ と変形すると、数列 $\{a_n+3\}$ は初項 $a_1+3=6$、公比 $2$ の等比数列。
よって $a_n+3=6\cdot 2^{n-1}=3\cdot 2^n$、すなわち $a_n=3\cdot 2^n-3$。
$a_{10}=3\cdot 1024-3=3069$。
検算：$a_1=3$、$a_2=9$、$S_2=12$ で、$2a_2-6=12$ となり一致する。$a_3=21$、$S_3=33$ で、$2\cdot 21-9=33$ となり一致する。