数列の問題

初項を求める

$n=1$ のとき $S_1=a_1$ なので、与えられた式は $a_1+a_1=2$ となる。よって $a_1=1$ である。

$n$ を $n+1$ にした式との差をとる

与えられた式
$$a_n+S_n=2n(1)$$
で $n$ を $n+1$ にすると
$$a_{n+1}+S_{n+1}=2(n+1)(2)$$
$(2)-(1)$ より
$$a_{n+1}-a_n+(S_{n+1}-S_n)=2$$
ここで $S_{n+1}-S_n=a_{n+1}$ であるから
$$a_{n+1}-a_n+a_{n+1}=2$$
$$2a_{n+1}=a_n+2$$
$$a_{n+1}=\frac{1}{2}{a}_n+1$$
これは $a_{n+1}=p{a}_n+q$ 型の漸化式である。

漸化式を解く

特性方程式 $\alpha =\frac{1}{2}\alpha +1$ を解くと $\alpha =2$。よって漸化式は
$$a_{n+1}-2=\frac{1}{2}(a_n-2)$$
と変形できる。数列 $\{a_n-2\}$ は初項 $a_1-2=1-2=-1$、公比 $\frac{1}{2}$ の等比数列なので
$$a_n-2=-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$$
したがって
$$a_n=2-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$$

確かめ

$n=2$ のとき、もとの式は $a_2+(a_1+a_2)=4$ より $2a_2=3$、$a_2=\frac{3}{2}$。求めた式でも $a_2=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$ となり一致する。

答えは $a_n=2-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$ である。

$n=1$ のとき $a_1+S_1=2a_1=2$ より $a_1=1$。
$n\ge 2$ のとき、$a_n+S_n=2n$ と $a_{n-1}+S_{n-1}=2(n-1)$ の差をとると、$a_n-a_{n-1}+a_n=2$ より $2a_n=a_{n-1}+2$、すなわち $a_n-2=\frac{1}{2}(a_{n-1}-2)$。
$a_1-2=-1$ なので $a_n-2=-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$、よって $a_n=2-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$。
これは $n=1$ でも $a_1=2-1=1$ となり成り立つ。
検算: $a_2=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$、$S_2=1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}$、$a_2+S_2=4=2\cdot 2$ で成立。$a_3=2-\frac{1}{4}=\frac{7}{4}$、$S_3=\frac{5}{2}+\frac{7}{4}=\frac{17}{4}$、$a_3+S_3=6$ で成立。