和 $S_{n}$ から一般項を求める

$S_{n}$ が $n$ の式で与えられたとき、 $a_{1} = S_{1}$ 、 $n ≧ 2$ で $a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}$ を使って一般項を求め、 $n = 1$ でも成り立つかを確かめられる（例: $S_{n} = 2 n^{2} + n$ から $a_{n} = 4 n - 1$ ）

前提

等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）

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算数中学高校大学大学院

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等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）

説明

数列 ${a_{n}}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$ が $n$ の式で与えられているとき、そこから一般項 $a_{n}$ を求める方法を学びます。これまでは「一般項から和を求める」向きでしたが、ここではその逆向きを扱います。和の情報しか与えられていない問題や、数列の性質を調べる問題でよく使います。

なぜそうしてよいのか

和 $S_{n}$ と $S_{n - 1}$ を並べて書くと、違いが見えます。 $S_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n - 1} + a_{n}$ $S_{n - 1} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n - 1}$ 上から下を引くと、 $a_{1}$ から $a_{n - 1}$ までが打ち消し合い、最後の $a_{n}$ だけが残ります。つまり $a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}$ です。「 $n$ 個の和」から「 $n - 1$ 個の和」を除けば、残るのは $n$ 番目の項 1 つだけ、という直観です。

ただし $S_{n - 1}$ は「初項から第 $n - 1$ 項までの和」なので、 $n - 1 ≧ 1$ 、つまり $n ≧ 2$ のときにしか意味を持ちません。 $n = 1$ のときは引き算は使えず、和の定義から直接 $a_{1} = S_{1}$ と求めます。

そのため、 $n ≧ 2$ で得た式に $n = 1$ を代入した値が $S_{1}$ と一致するかどうかを必ず確かめます。一致すれば 1 つの式ですべての $n$ を表せますが、一致しないこともあります（たとえば $S_{n}$ が $n$ の多項式で定数項が $0$ でないとき）。その場合は $a_{1}$ と $n ≧ 2$ の式を分けて答えます。

手順

$n = 1$ を代入して初項を求める： $a_{1} = S_{1}$
$S_{n}$ の式の $n$ を $n - 1$ に置き換えて $S_{n - 1}$ を作り、展開して整理する
$n ≧ 2$ のとき $a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}$ を計算する
手順 3 の式に $n = 1$ を代入し、手順 1 の $a_{1}$ と一致するか確かめる
一致すれば「 $a_{n} =$ （その式）」と 1 つにまとめる。一致しなければ「 $a_{1} = S_{1}$ 、 $n ≧ 2$ のとき $a_{n} =$ （その式）」と分けて答える

例題

初項から第 $n$ 項までの和 $S_{n}$ が $S_{n} = 3 n^{2} - 2 n$ で表される数列 ${a_{n}}$ の一般項 $a_{n}$ を求めよ。

例題の解答

手順 1： $a_{1} = S_{1} = 3 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 = 1$ 。

手順 2： $n$ を $n - 1$ に置き換えると $S_{n - 1} = 3 (n - 1)^{2} - 2 (n - 1) = 3 n^{2} - 6 n + 3 - 2 n + 2 = 3 n^{2} - 8 n + 5$ 。

手順 3： $n ≧ 2$ のとき $a_{n} = S_{n} - S_{n - 1} = (3 n^{2} - 2 n) - (3 n^{2} - 8 n + 5) = 6 n - 5$ 。

手順 4： $6 n - 5$ に $n = 1$ を代入すると $6 \cdot 1 - 5 = 1$ となり、 $a_{1} = 1$ と一致する。

手順 5：よって $n = 1$ のときも含めて $a_{n} = 6 n - 5$ と表せる。

答え: $6 n - 5$

よくある誤り

$n = 1$ での確認を省いてしまう誤り。たとえば $S_{n} = n^{2} + n + 1$ のとき、 $n ≧ 2$ では $a_{n} = S_{n} - S_{n - 1} = 2 n$ ですが、 $a_{1} = S_{1} = 3$ であり $2 \cdot 1 = 2$ とは一致しません。正しくは「 $a_{1} = 3$ 、 $n ≧ 2$ のとき $a_{n} = 2 n$ 」と分けて答えます。
$S_{n - 1}$ を引くときに符号を誤る誤り。たとえば $S_{n} = 3 n^{2} - 2 n$ で $S_{n} - S_{n - 1} = 3 n^{2} - 2 n - 3 (n - 1)^{2} - 2 (n - 1)$ としてしまうのは誤りです。正しくは $S_{n - 1}$ 全体を括弧でくくり、 $(3 n^{2} - 2 n) - {3 (n - 1)^{2} - 2 (n - 1)}$ と計算します。
$S_{n + 1} - S_{n}$ を $a_{n}$ としてしまう誤り。 $S_{n + 1} - S_{n}$ は $a_{n + 1}$ です。たとえば $S_{n} = 2^{n} - 1$ のとき $S_{n + 1} - S_{n} = 2^{n}$ は $a_{n + 1}$ であり、正しくは $n ≧ 2$ で $a_{n} = S_{n} - S_{n - 1} = 2^{n} - 2^{n - 1} = 2^{n - 1}$ （ $n = 1$ でも $a_{1} = S_{1} = 1 = 2^{0}$ で成り立つ）です。
$a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}$ を $n = 1$ にもそのまま使ってしまう誤り。 $n = 1$ では $S_{0}$ が必要になりますが、 $S_{n}$ は「初項から第 $n$ 項までの和」なので $n ≧ 1$ でしか定義されていません。正しくは $a_{1}$ は $a_{1} = S_{1}$ で求め、引き算の式は $n ≧ 2$ に限って使います。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

$S_{n}$ と $a_{n}$ の関係式（数学B 数列）

和 Sn​ から一般項を求める

前提

説明