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数列の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学B 数列

数列 ${a_{n}}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_{n}$ が
$S_{n} = 3 n^{2} - n (n = 1, 2, 3, \dots)$
で与えられている。一般項 $a_{n}$ を $n$ の式で求めよ。

この問題で使うもの

和 $S_{n}$ から一般項を求める（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（11 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

和 $S_{n}$ から一般項を求める技能を使います。 $a_{1} = S_{1}$ と、 $n ≧ 2$ のときの $a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}$ を利用しましょう。

ヒント 2

$S_{n - 1}$ は $S_{n} = 3 n^{2} - n$ の $n$ を $n - 1$ に置き換えて、 $S_{n - 1} = 3 (n - 1)^{2} - (n - 1)$ と表せます。

ヒント 3

$a_{1} = S_{1} = 2$ 、 $S_{n - 1} = 3 n^{2} - 7 n + 4$ です。 $n ≧ 2$ で $S_{n} - S_{n - 1}$ を計算し、その式が $n = 1$ でも $a_{1}$ と一致するか確かめましょう。

答えと解説

答えを見る

6 n - 4

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解説を読む

和 $S_{n}$ から一般項を求めるには、次の関係を使います。
$a_{1} = S_{1}, a_{n} = S_{n} - S_{n - 1} (n ≧ 2)$

手順1：初項を求める

$n = 1$ を代入すると
$a_{1} = S_{1} = 3 \cdot 1^{2} - 1 = 2$

手順2： $n ≧ 2$ のときの $a_{n}$ を求める

$S_{n - 1}$ は $S_{n}$ の式の $n$ を $n - 1$ に置き換えたものです。
$S_{n - 1} = 3 (n - 1)^{2} - (n - 1) = 3 n^{2} - 6 n + 3 - n + 1 = 3 n^{2} - 7 n + 4$

よって、 $n ≧ 2$ のとき
$a_{n} = S_{n} - S_{n - 1} = (3 n^{2} - n) - (3 n^{2} - 7 n + 4) = 6 n - 4$

手順3： $n = 1$ でも成り立つか確かめる

$a_{n} = 6 n - 4$ に $n = 1$ を代入すると $6 \cdot 1 - 4 = 2$ となり、手順1で求めた $a_{1} = 2$ と一致します。

したがって、 $a_{n} = 6 n - 4$ はすべての正の整数 $n$ で成り立ち、
$a_{n} = 6 n - 4$

別解

$a_{1} = S_{1} = 3 - 1 = 2$ 。 $n \geq 2$ のとき $a_{n} = S_{n} - S_{n - 1} = 3 n^{2} - n - {3 (n - 1)^{2} - (n - 1)} = 3 n^{2} - n - (3 n^{2} - 6 n + 3 - n + 1) = 6 n - 4$ 。 $n = 1$ のとき $6 \cdot 1 - 4 = 2$ となり $a_{1}$ と一致するので、すべての $n \geq 1$ で $a_{n} = 6 n - 4$ 。検算： $a_{1} + a_{2} + a_{3} = 2 + 8 + 14 = 24$ 、 $S_{3} = 27 - 3 = 24$ で一致。

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