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数列の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学B 数列

数列 ${a_{n}}$ は次の条件で定められている。
$a_{1} = 1, a_{2} = 5, a_{n + 2} = 5 a_{n + 1} - 6 a_{n} (n = 1, 2, 3, \dots)$
一般項 $a_{n}$ を $n$ の式で表せ。

この問題で使うもの

隣接 3 項間の漸化式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（29 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

隣接 3 項間の漸化式の技能を使う。 $a_{n + 2} = 5 a_{n + 1} - 6 a_{n}$ に対して、特性方程式 $x^{2} = 5 x - 6$ を解いてみよう。

ヒント 2

特性方程式の解は $x = 2, 3$ 。これを使うと $a_{n + 2} - 2 a_{n + 1} = 3 (a_{n + 1} - 2 a_{n})$ と $a_{n + 2} - 3 a_{n + 1} = 2 (a_{n + 1} - 3 a_{n})$ の 2 通りに変形できる。

ヒント 3

数列 ${a_{n + 1} - 2 a_{n}}$ は初項 $3$ 、公比 $3$ の等比数列なので $a_{n + 1} - 2 a_{n} = 3^{n}$ 、数列 ${a_{n + 1} - 3 a_{n}}$ は初項 $2$ 、公比 $2$ の等比数列なので $a_{n + 1} - 3 a_{n} = 2^{n}$ となる。この 2 式から $a_{n + 1}$ を消去しよう。

答えと解説

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3^{n} - 2^{n}

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解説を読む

手順1：特性方程式を解く

漸化式 $a_{n + 2} = 5 a_{n + 1} - 6 a_{n}$ の $a_{n + 2}$ を $x^{2}$ 、 $a_{n + 1}$ を $x$ 、 $a_{n}$ を $1$ におきかえた 2 次方程式
$x^{2} = 5 x - 6$
を考える。 $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ より $(x - 2) (x - 3) = 0$ なので、 $x = 2, 3$ である。

手順2：2 通りに変形する

解と係数の関係より $2 + 3 = 5$ 、 $2 \cdot 3 = 6$ であるから、漸化式は次の 2 通りに変形できる。
$a_{n + 2} - 2 a_{n + 1} = 3 (a_{n + 1} - 2 a_{n}) (1)$
$a_{n + 2} - 3 a_{n + 1} = 2 (a_{n + 1} - 3 a_{n}) (2)$
（実際、 $(1)$ を展開すると $a_{n + 2} = 5 a_{n + 1} - 6 a_{n}$ となり、 $(2)$ も同様である。）

手順3：等比数列として表す

$(1)$ より、数列 ${a_{n + 1} - 2 a_{n}}$ は初項 $a_{2} - 2 a_{1} = 5 - 2 = 3$ 、公比 $3$ の等比数列である。よって
$a_{n + 1} - 2 a_{n} = 3 \cdot 3^{n - 1} = 3^{n} (3)$

$(2)$ より、数列 ${a_{n + 1} - 3 a_{n}}$ は初項 $a_{2} - 3 a_{1} = 5 - 3 = 2$ 、公比 $2$ の等比数列である。よって
$a_{n + 1} - 3 a_{n} = 2 \cdot 2^{n - 1} = 2^{n} (4)$

手順4： $a_{n + 1}$ を消去する

$(3) - (4)$ より
$(a_{n + 1} - 2 a_{n}) - (a_{n + 1} - 3 a_{n}) = 3^{n} - 2^{n}$
$a_{n} = 3^{n} - 2^{n}$

確認： $a_{1} = 3 - 2 = 1$ 、 $a_{2} = 9 - 4 = 5$ で条件に合う。また漸化式から $a_{3} = 5 \cdot 5 - 6 \cdot 1 = 19$ であり、 $3^{3} - 2^{3} = 27 - 8 = 19$ と一致する。

したがって、 $a_{n} = 3^{n} - 2^{n}$ である。

別解

特性方程式 $x^{2} = 5 x - 6$ より $(x - 2) (x - 3) = 0$ なので、解は $x = 2, 3$ 。
一般項は $a_{n} = A \cdot 2^{n} + B \cdot 3^{n}$ と表せる。
$a_{1} = 2 A + 3 B = 1$ 、 $a_{2} = 4 A + 9 B = 5$ 。
1つ目の式を2倍すると $4 A + 6 B = 2$ 。これを2つ目から引くと $3 B = 3$ なので $B = 1$ 。
よって $2 A = 1 - 3 = - 2$ より $A = - 1$ 。
ゆえに $a_{n} = 3^{n} - 2^{n}$ 。
検算： $a_{1} = 3 - 2 = 1$ 、 $a_{2} = 9 - 4 = 5$ 。 $a_{3} = 5 \cdot 5 - 6 \cdot 1 = 19$ で、 $27 - 8 = 19$ となり一致する。 $a_{4} = 5 \cdot 19 - 6 \cdot 5 = 65$ で、 $81 - 16 = 65$ となり一致する。

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