隣接 3 項間の漸化式

$a_{n + 2} = p a_{n + 1} + q a_{n}$ について、 $x^{2} = p x + q$ の解 $α, β$ を使って $a_{n + 2} - α a_{n + 1} = β (a_{n + 1} - α a_{n})$ と変形し、一般項や特定の項の値を求められる

前提

$a_{n + 1} = p a_{n} + q$ 型の漸化式（数学B 数列）
2次方程式の解の公式と判別式（数学I 2次関数）

この技能までの道筋（28 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
連立方程式の解き方（加減法・代入法）（中学数学方程式）
等差数列・等比数列の一般項（数学B 数列）
$a_{n + 1} = p a_{n} + q$ 型の漸化式（数学B 数列）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
因数分解（中学数学数と式）
3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
根号の乗除と加減（中学数学数と式）
分母の有理化（中学数学数と式）
乗法公式・分配法則を使う根号の式の展開（中学数学数と式）
根号を含む式の計算と分母の有理化（数学I 数と式）
比例・反比例の式とグラフ（中学数学関数）
関数 $y = a x^{2}$ の式と変域（中学数学関数）
平方完成と 2 次関数のグラフ（数学I 2次関数）
2次方程式の解の公式と判別式（数学I 2次関数）

説明

隣接 3 項間の漸化式 $a_{n + 2} = p a_{n + 1} + q a_{n}$ は、ある項を直前の 2 つの項から決める式です。この技能を使うと、2 次方程式 $x^{2} = p x + q$ を解き、その解で式を等比数列の形に変形して、一般項 $a_{n}$ を $n$ の式で求められます。 $a_{n + 1} = p a_{n} + q$ 型で $a_{n} - α$ を等比数列にしたのと同じ考え方を、隣り合う 2 項の組 $a_{n + 1} - α a_{n}$ に使います。

なぜそうしてよいのか

目標は、 $b_{n} = a_{n + 1} - α a_{n}$ とおいたときに $b_{n + 1} = β b_{n}$ となる、つまり $a_{n + 2} - α a_{n + 1} = β (a_{n + 1} - α a_{n})$ となる数 $α, β$ を見つけることです。この式を展開して $a_{n + 2}$ について解くと $a_{n + 2} = (α + β) a_{n + 1} - α β a_{n}$ です。これがもとの漸化式と一致すればよいので、 $α + β = p, α β = - q$ となる $α, β$ を選べば十分です。

このような $α, β$ は次のように見つかります。 $(x - α) (x - β) = x^{2} - (α + β) x + α β = x^{2} - p x - q$ なので、 $α, β$ は 2 次方程式 $x^{2} - p x - q = 0$ 、つまり $x^{2} = p x + q$ の 2 つの解です。逆に、この方程式の 2 解を $α, β$ とすれば、 $x^{2} - p x - q = (x - α) (x - β)$ と因数分解できるので、係数を比べて $α + β = p, α β = - q$ が成り立ちます。この方程式は、漸化式の $a_{n + 2}, a_{n + 1}, a_{n}$ を $x^{2}, x, 1$ に置きかえた形をしています。

式は $α$ と $β$ について対称なので、役割を入れかえた $a_{n + 2} - β a_{n + 1} = α (a_{n + 1} - β a_{n})$ も成り立ちます。こうして等比数列が 2 つ得られます。 $α \neq = β$ のときは、2 つの式を引いて $a_{n + 1}$ を消せば $a_{n}$ が求まります。なお $α = β$ （重解）のときは 2 つの式が同じになって $a_{n}$ が求まらないので、別の工夫が必要です。このページでは、異なる 2 つの実数解をもつ場合を扱います。

手順

漸化式 $a_{n + 2} = p a_{n + 1} + q a_{n}$ の $a_{n + 2}, a_{n + 1}, a_{n}$ を $x^{2}, x, 1$ に置きかえた方程式 $x^{2} = p x + q$ を解き、2 解 $α, β$ （ $α \neq = β$ ）を求める。
漸化式を 2 通りに変形する: $a_{n + 2} - α a_{n + 1} = β (a_{n + 1} - α a_{n})$ と $a_{n + 2} - β a_{n + 1} = α (a_{n + 1} - β a_{n})$ 。
それぞれを等比数列とみて一般項を書く。初項は $n = 1$ のときの値なので、 $a_{n + 1} - α a_{n} = (a_{2} - α a_{1}) β^{n - 1}$ と $a_{n + 1} - β a_{n} = (a_{2} - β a_{1}) α^{n - 1}$ になる。
2 つの式を辺々引いて $a_{n + 1}$ を消す。 $(β - α) a_{n} = (a_{2} - α a_{1}) β^{n - 1} - (a_{2} - β a_{1}) α^{n - 1}$ となるので、両辺を $β - α (\neq = 0)$ で割って $a_{n}$ を求める。
$n = 1, 2$ を代入して $a_{1}, a_{2}$ と一致するかを確かめる。

例題

$a_{1} = 1, a_{2} = 4, a_{n + 2} = 5 a_{n + 1} - 6 a_{n} (n = 1, 2, 3, \dots)$ で定められる数列 ${a_{n}}$ の一般項を求めよ。

例題の解答

【手順1】 $x^{2} = 5 x - 6$ を解く。 $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ より $(x - 2) (x - 3) = 0$ なので $x = 2, 3$ 。 $α = 2, β = 3$ とする。
【手順2】漸化式は次の 2 通りに変形できる。
$a_{n + 2} - 2 a_{n + 1} = 3 (a_{n + 1} - 2 a_{n})$ 、 $a_{n + 2} - 3 a_{n + 1} = 2 (a_{n + 1} - 3 a_{n})$
（展開すると、どちらも $a_{n + 2} = 5 a_{n + 1} - 6 a_{n}$ に戻ることが確かめられる。）
【手順3】数列 ${a_{n + 1} - 2 a_{n}}$ は初項 $a_{2} - 2 a_{1} = 4 - 2 = 2$ 、公比 $3$ の等比数列なので
$a_{n + 1} - 2 a_{n} = 2 \cdot 3^{n - 1}$ …①
数列 ${a_{n + 1} - 3 a_{n}}$ は初項 $a_{2} - 3 a_{1} = 4 - 3 = 1$ 、公比 $2$ の等比数列なので
$a_{n + 1} - 3 a_{n} = 2^{n - 1}$ …②
【手順4】① $-$ ② を計算すると $(- 2 a_{n}) - (- 3 a_{n}) = a_{n}$ となるので
$a_{n} = 2 \cdot 3^{n - 1} - 2^{n - 1}$
（ここでは $β - α = 1$ なので、割る必要はない。）
【手順5】確認する。 $n = 1$ のとき $2 \cdot 1 - 1 = 1$ 、 $n = 2$ のとき $2 \cdot 3 - 2 = 4$ で、どちらも一致する。さらに $a_{3} = 5 \cdot 4 - 6 \cdot 1 = 14$ で、式からも $2 \cdot 9 - 4 = 14$ となり一致する。
よって $a_{n} = 2 \cdot 3^{n - 1} - 2^{n - 1}$ 。

答え: $2 \cdot 3^{n - 1} - 2^{n - 1}$

よくある誤り

特性方程式で $q$ の符号を取り違える誤り。たとえば $a_{n + 2} = 5 a_{n + 1} - 6 a_{n}$ から $x^{2} = 5 x + 6$ としてしまう。正しくは、項を $x^{2}, x, 1$ にそのまま置きかえて $x^{2} = 5 x - 6$ 。
公比を $α$ と $β$ で取り違える誤り。たとえば $a_{n + 1} - 2 a_{n} = 2 \cdot 2^{n - 1}$ としてしまう。正しくは、 $a_{n + 1} - α a_{n}$ の公比はもう一方の解 $β$ なので、 $a_{n + 1} - 2 a_{n} = 2 \cdot 3^{n - 1}$ 。初項も $a_{2} - α a_{1}$ であり、 $a_{1}$ ではない。
引き算のあとで $a_{n}$ の係数で割るのを忘れる誤り。たとえば $a_{n + 2} = a_{n + 1} + 2 a_{n}$ では、解が $2, - 1$ で、 $(a_{n + 1} + a_{n}) - (a_{n + 1} - 2 a_{n}) = 3 a_{n}$ となる。この右辺をそのまま $a_{n}$ としてしまう。正しくは、両辺を $3$ で割って $a_{n}$ を求める。
特性方程式が重解 $α = β$ をもつときに、同じ方法で 2 式を引こうとする誤り。このときは 2 つの式が同じ $a_{n + 1} - α a_{n} = (a_{2} - α a_{1}) α^{n - 1}$ になり、引くと $0 = 0$ となって $a_{n}$ は求まらない。この場合は、この 1 つの式（ $a_{n + 1}$ と $a_{n}$ の関係）から別の方法で解く必要がある。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

フロベニウスのトレースと拡大体上の点の数（大学院数学代数幾何）
ヘッケ固有形式と τ の乗法性（大学院数学楕円関数・モジュラー形式）