数列の問題

階差数列の漸化式を作る

$\{a_n\}$ の階差数列を $\{b_n\}$ とし、$b_n=a_{n+1}-a_n$ とおく。漸化式を
$$(a_{n+2}-a_{n+1})-2(a_{n+1}-a_n)=2^{n+1}$$
と変形すると、
$$b_{n+1}-2b_n=2^{n+1}(n=1,2,3,\dots )$$
となる。また $b_1=a_2-a_1=3-1=2$ である。

$b_n$ を求める

両辺を $2^{n+1}$ で割ると
$$\frac{b_{n+1}}{2^{n+1}}-\frac{b_n}{2^n}=1$$
となる。よって数列 $\left\{\frac{b_n}{2^n}\right\}$ は、初項 $\frac{b_1}{2}=1$、公差 $1$ の等差数列である。したがって
$$\frac{b_n}{2^n}=1+(n-1)\cdot 1=n,b_n=n\cdot 2^n$$
となる。

和 $\sum _{k=1}^{m}k\cdot 2^k$ を求める

$m$ を正の整数とし、$T=\sum _{k=1}^{m}k\cdot 2^k$ とおく。
$$T=1\cdot 2+2\cdot 2^2+3\cdot 2^3+\cdots +m\cdot 2^m$$
$$2T=1\cdot 2^2+2\cdot 2^3+\cdots +(m-1)\cdot 2^m+m\cdot 2^{m+1}$$
辺々引くと
$$T-2T=2+2^2+\cdots +2^m-m\cdot 2^{m+1}=\frac{2(2^m-1)}{2-1}-m\cdot 2^{m+1}=2^{m+1}-2-m\cdot 2^{m+1}$$
となる。よって
$$T=(m-1)\cdot 2^{m+1}+2$$
である。

$a_n$ を求める

$n\ge 2$ のとき、$m=n-1$ として
$$a_n=a_1+\sum _{k=1}^{n-1}{b}_k=1+\{(n-2)\cdot 2^n+2\}=(n-2)\cdot 2^n+3$$
となる。$n=1$ のとき、右辺は $(1-2)\cdot 2+3=1$ となり $a_1=1$ と一致する。

検算

$n=2$ のとき右辺は $0+3=3=a_2$ である。$n=3$ のとき、漸化式からは $a_3=3\cdot 3-2\cdot 1+2^2=11$、右辺は $1\cdot 8+3=11$ で一致する。

したがって
$$a_n=(n-2)\cdot 2^n+3$$

特性方程式 $x^2-3x+2=0$ の解は $x=1,2$ である。右辺の $2^{n+1}$ は特性解 $2$ と共鳴するので、特殊解を $cn{2}^n$ とおく。
代入すると $c{2}^n\{4(n+2)-6(n+1)+2n\}=2c\cdot 2^n$ となる。これが $2^{n+1}$ に等しいので $c=1$。
よって一般解は $a_n=A+B{2}^n+n{2}^n$ である。
$a_1=1$ より $A+2B+2=1$、つまり $A+2B=-1$。
$a_2=3$ より $A+4B+8=3$、つまり $A+4B=-5$。
この2式から $B=-2$、$A=3$。
ゆえに $a_n=3+(n-2)2^n$。
検算: $a_1=1$、$a_2=3$、$a_3=11$、$a_4=35$。
$n=1$: $11-9+2=4=2^2$ で成立。
$n=2$: $35-33+6=8=2^3$ で成立。