数列の問題

方針 係数 $n$ と $n+2$ がそろっていないので、両辺を適当な式で割って、ある数列の階差の形に直す。

変形 漸化式の両辺を $n(n+1)(n+2)$ $(\ne 0)$ で割ると
$$\frac{a_{n+1}}{(n+1)(n+2)}-\frac{a_n}{n(n+1)}=n\cdot 2^n$$
となる。そこで
$$c_n=\frac{a_n}{n(n+1)}$$
とおくと $c_{n+1}-c_n=n\cdot 2^n$ であり、$c_1=\frac{a_1}{1\cdot 2}=1$ である。数列 $\{c_n\}$ の階差数列が $\{n\cdot 2^n\}$ である。

和 $\sum _{k=1}^{m}k\cdot 2^k$ の計算 $T_m=\sum _{k=1}^{m}k\cdot 2^k$ とおく。
$$T_m=1\cdot 2+2\cdot 2^2+\cdots +m\cdot 2^m$$
$$2T_m=1\cdot 2^2+\cdots +(m-1)\cdot 2^m+m\cdot 2^{m+1}$$
上の式から下の式を引くと
$$-T_m=2+2^2+\cdots +2^m-m\cdot 2^{m+1}=2^{m+1}-2-m\cdot 2^{m+1}$$
となる。よって $T_m=(m-1)2^{m+1}+2$ である。

$c_n$ を求める $n\geqq 2$ のとき、$m=n-1$ として
$$c_n=c_1+\sum _{k=1}^{n-1}k\cdot 2^k=1+(n-2)2^n+2=(n-2)2^n+3$$
となる。$n=1$ のとき右辺は $-2+3=1=c_1$ となるので、この式は $n=1$ でも成り立つ。

$a_n$ を求める
$$a_n=n(n+1)c_n=n(n+1)\left\{(n-2)2^n+3\right\}$$

確認
- 漸化式で $n=1$ とすると $a_2=3\cdot 2+1\cdot 2\cdot 3\cdot 2=18$ である。公式では $2\cdot 3\cdot (0+3)=18$ となり一致する。
- 漸化式で $n=2$ とすると $2a_3=4\cdot 18+4\cdot 3\cdot 4\cdot 4=264$ より $a_3=132$ である。公式では $3\cdot 4\cdot (8+3)=132$ となり一致する。

したがって
$$a_n=n(n+1)\left\{(n-2)\cdot 2^n+3\right\}$$

漸化式の両辺を $n(n+1)(n+2)$ で割ると
$$\frac{a_{n+1}}{(n+1)(n+2)}=\frac{a_n}{n(n+1)}+n\cdot 2^n$$
となる。
$b_n=\frac{a_n}{n(n+1)}$ とおくと、$b_1=1$、$b_{n+1}=b_n+n{2}^n$ である。
よって $n\ge 2$ で $b_n=1+{\sum }_{k=1}^{n-1}k{2}^k$ となる。
${\sum }_{k=1}^{m}k{2}^k=(m-1)2^{m+1}+2$ であり、$m=n-1$ を代入すると $(n-2)2^n+2$ になる。
したがって $b_n=(n-2)2^n+3$ であり、これは $n=1$ でも成り立つ。
ゆえに $a_n=n(n+1)\left((n-2)2^n+3\right)$ である。
検算:漸化式から $a_2=18$、$a_3=132$ が得られる。公式でも $a_1=2$、$a_2=2\cdot 3\cdot 3=18$、$a_3=3\cdot 4\cdot 11=132$ となり一致する。