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数列

扱うテーマ: 等差数列・等比数列の一般項と和、Σ記号と和の計算、階差数列、漸化式（a_{n+1}=pa_n+q 型、階差型など）、群数列、数学的帰納法で示せる関係の具体的な値

難易度の目安（高校数学）

難易度 1 教科書の例題レベル
難易度 2 教科書の章末問題レベル
難易度 3 共通テストレベル
難易度 4 国公立二次の標準レベル
難易度 5 最難関大の二次・数学オリンピック予選レベル

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難易度 1（教科書の例題レベル）
$n$ を正の整数とするとき、和 $k = 1 \sum n (6 k^{2} + 2 k)$ を計算し、 $n$ の式で表せ。答えは因数分解した形で書け。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$n$ を正の整数とする。次の和を $n$ の式で表せ。答えはできるだけ因数分解した形で書け。 $k = 1 \sum n (3 k^{2} - k)$
難易度 1（教科書の例題レベル）
$n$ を正の整数とする。和 $k = 1 \sum n (3 k^{2} - k)$ を $n$ の式で表せ。答えは因数分解した形で答えよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
等差数列 ${a_{n}}$ は $a_{5} = 17$ , $a_{12} = 45$ を満たす。一般項 $a_{n}$ を $n$ の式で表せ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
等差数列 ${a_{n}}$ は、第 $5$ 項が $13$ 、第 $12$ 項が $41$ である。 $n$ を正の整数とするとき、一般項 $a_{n}$ を $n$ の式で表せ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
等差数列 ${a_{n}}$ は $a_{2} = 11$ , $a_{6} = - 1$ を満たす。一般項 $a_{n}$ を $n$ の式で表せ。ただし、 $n$ は正の整数とする。
難易度 1（教科書の例題レベル）
数列 ${a_{n}}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_{n}$ が
$S_{n} = 3 n^{2} - 2 n (n = 1, 2, 3, \dots)$
で与えられている。 $n$ を正の整数とするとき、一般項 $a_{n}$ を $n$ の式で表せ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
数列 ${a_{n}}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_{n}$ が
$S_{n} = 3 n^{2} - 2 n (n = 1, 2, 3, \dots)$
で与えられている。 $n$ を正の整数とするとき、一般項 $a_{n}$ を $n$ の式で求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
数列 ${a_{n}}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_{n}$ が
$S_{n} = 3 n^{2} - n (n = 1, 2, 3, \dots)$
で与えられている。一般項 $a_{n}$ を $n$ の式で求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$n$ を正の整数とする。次の和を $n$ の式で表せ。 $k = 1 \sum n \frac{1}{( 3 k - 1 ) ( 3 k + 2 )}$
難易度 1（教科書の例題レベル）
$n$ を正の整数とする。次の和を $n$ の式で表せ。 $k = 1 \sum n \frac{1}{( 3 k - 1 ) ( 3 k + 2 )}$
難易度 1（教科書の例題レベル）
$n$ を正の整数とする。次の和を $n$ の式で表せ。 $k = 1 \sum n \frac{1}{( 3 k - 1 ) ( 3 k + 2 )}$
難易度 1（教科書の例題レベル）
$n$ を正の整数とする。次の和 $S_{n}$ を $n$ の式で表せ。 $S_{n} = k = 1 \sum n k \cdot 2^{k - 1} = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 2^{2} + \dots + n \cdot 2^{n - 1}$
難易度 1（教科書の例題レベル）
$n$ を正の整数とする。次の和 $S_{n}$ を $n$ の式で表せ。 $S_{n} = k = 1 \sum n k \cdot 2^{k} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2^{3} + \dots + n \cdot 2^{n}$
難易度 1（教科書の例題レベル）
$n$ を正の整数とする。次の和 $S_{n}$ を $n$ の式で表せ。 $S_{n} = k = 1 \sum n k \cdot 2^{k} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2^{3} + \dots + n \cdot 2^{n}$
難易度 1（教科書の例題レベル）
数列 ${a_{n}}$ は
$a_{1} = 2, a_{n + 1} = a_{n} + 4 n + 1 (n = 1, 2, 3, \dots)$
を満たす。一般項 $a_{n}$ を $n$ の式で表せ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
数列 ${a_{n}}$ は
$a_{1} = 2, a_{n + 1} = a_{n} + 4 n - 1 (n = 1, 2, 3, \dots)$
を満たす。一般項 $a_{n}$ を $n$ の式で表せ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
数列 ${a_{n}}$ は
$a_{1} = 4, a_{n + 1} = a_{n} + 4 n - 1 (n = 1, 2, 3, \dots)$
を満たす。一般項 $a_{n}$ を $n$ の式で表せ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$3$ の倍数を小さい順に並べた数列を、第 $n$ 群 $(n = 1, 2, 3, \dots)$ が $n$ 個の項を含むように、次のように群に分ける。
$3 ∣ 6, 9 ∣ 12, 15, 18 ∣ 21, \dots$
第 $10$ 群に含まれる項の和を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$3$ の正の倍数を小さい順に並べた数列を、第 $n$ 群 $(n = 1, 2, 3, \dots)$ が $n$ 個の項を含むように、次のように群に分ける。
$3 ∣ 6, 9 ∣ 12, 15, 18 ∣ 21, \dots$
第 $10$ 群に含まれる項の和を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
正の整数を小さい順に並べた数列を、第 $n$ 群 $(n = 1, 2, 3, \dots)$ が $n$ 個の項を含むように、次のように群に分ける。 $1 ∣ 2, 3 ∣ 4, 5, 6 ∣ 7, 8, 9, 10 ∣ 11, \dots$ 第 $20$ 群に含まれるすべての数の和を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
数列 ${a_{n}}$ は
$a_{1} = 5, a_{n + 1} = 4 a_{n} - 6 (n = 1, 2, 3, \dots)$
を満たす。一般項 $a_{n}$ を $n$ の式で表せ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
数列 ${a_{n}}$ は
$a_{1} = 5, a_{n + 1} = 4 a_{n} - 6 (n = 1, 2, 3, \dots)$
を満たす。一般項 $a_{n}$ を $n$ の式で表せ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
数列 ${a_{n}}$ は $a_{1} = 5, a_{n + 1} = 4 a_{n} - 6 (n = 1, 2, 3, \dots)$ を満たす。一般項 $a_{n}$ を $n$ の式で表せ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
数列 ${a_{n}}$ は次の条件で定められている。 $a_{1} = 2, a_{n + 1} = 2 - \frac{1}{a _{n}} (n = 1, 2, 3, \dots)$ 初めの数項を計算して一般項 $a_{n}$ を推定し、それが正しいことを数学的帰納法で確かめたうえで、 $a_{10}$ の値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
数列 ${a_{n}}$ は次の条件で定められている。
$a_{1} = \frac{1}{3}, a_{n + 1} = \frac{1}{2 - a _{n}} (n = 1, 2, 3, \dots)$
$a_{2}, a_{3}, a_{4}$ を計算して一般項 $a_{n}$ を推定し、その推定が正しいことを数学的帰納法で確かめたうえで、 $a_{10}$ の値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
数列 ${a_{n}}$ は
$a_{1} = \frac{1}{2}, a_{n + 1} = \frac{a _{n}}{1 + 2 a _{n}} (n = 1, 2, 3, \dots)$
を満たす。初めの数項を計算して一般項 $a_{n}$ を推定し、それが正しいことを数学的帰納法で示したうえで、 $a_{10}$ の値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
2 つの数列 ${a_{k}}$ , ${b_{k}}$ を
$a_{k} = 7 k - 5, b_{k} = 2^{k} (k = 1, 2, 3, \dots)$
で定める。数列 ${a_{k}}$ の項であり、かつ数列 ${b_{k}}$ の項でもある数を小さい順に並べた数列を ${c_{n}}$ $(n = 1, 2, 3, \dots)$ とする。 $c_{n}$ を $n$ の式で表せ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
2 つの数列 ${a_{k}}$ , ${b_{k}}$ を
$a_{k} = 7 k - 3, b_{k} = 2^{k} (k = 1, 2, 3, \dots)$
で定める。数列 ${a_{k}}$ の項であり、かつ数列 ${b_{k}}$ の項でもある数を小さい順に並べてできる数列を ${c_{n}}$ とする。数列 ${c_{n}}$ の一般項 $c_{n}$ を $n$ の式で求めよ。ただし、 $n$ は正の整数とする。
難易度 1（教科書の例題レベル）
2 つの数列 ${a_{k}}$ , ${b_{k}}$ を
$a_{k} = 5 k + 4, b_{k} = 3^{k} (k = 1, 2, 3, \dots)$
で定める。数列 ${a_{k}}$ の項であり、かつ数列 ${b_{k}}$ の項でもある数を小さい順に並べてできる数列を ${c_{n}}$ とする。数列 ${c_{n}}$ の一般項を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
数列 ${a_{n}}$ は
$a_{1} = 1, a_{n + 1} = 2 a_{n} + 3^{n} (n = 1, 2, 3, \dots)$
を満たす。一般項 $a_{n}$ を $n$ の式で表せ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
数列 ${a_{n}}$ は $a_{1} = 1, a_{n + 1} = \frac{a _{n}}{a _{n} + 3} (n = 1, 2, 3, \dots)$ を満たす。すべての $n$ について $a_{n} > 0$ であることを用いてよい。 $b_{n} = \frac{1}{a _{n}}$ とおくことにより、一般項 $a_{n}$ を $n$ の式で表せ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
数列 ${a_{n}}$ は
$a_{1} = 1, a_{n + 1} = \frac{a _{n}}{a _{n} + 3} (n = 1, 2, 3, \dots)$
を満たす。すべての $n$ について $a_{n} > 0$ であることを用いてよい。一般項 $a_{n}$ を $n$ の式で表せ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
数列 ${a_{n}}$ は次の条件で定められている。
$a_{1} = 1, a_{2} = 4, a_{n + 2} = 5 a_{n + 1} - 6 a_{n} (n = 1, 2, 3, \dots)$
一般項 $a_{n}$ を $n$ の式で表せ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
数列 ${a_{n}}$ は次の条件で定められている。
$a_{1} = 1, a_{2} = 5, a_{n + 2} = 5 a_{n + 1} - 6 a_{n} (n = 1, 2, 3, \dots)$
一般項 $a_{n}$ を $n$ の式で表せ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
数列 ${a_{n}}$ は次の条件で定められている。 $a_{1} = 1, a_{2} = 5, a_{n + 2} = 5 a_{n + 1} - 6 a_{n} (n = 1, 2, 3, \dots)$ 一般項 $a_{n}$ を $n$ の式で表せ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
数列 ${a_{n}}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_{n}$ とする。すべての正の整数 $n$ に対して
$S_{n} = 2 a_{n} + n$
が成り立つとき、一般項 $a_{n}$ を $n$ の式で表せ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
数列 ${a_{n}}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_{n}$ とする。すべての正の整数 $n$ に対して
$S_{n} = 2 a_{n} - 3 n$
が成り立つとき、第 $10$ 項 $a_{10}$ の値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
数列 ${a_{n}}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_{n}$ とする。すべての正の整数 $n$ に対して
$a_{n} + S_{n} = 2 n$
が成り立つとき、一般項 $a_{n}$ を $n$ の式で表せ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
正の偶数を小さい順に並べ、第 $n$ 群が $2 n - 1$ 個の項を含むように次のように群に分ける。
$2 ∣ 4, 6, 8 ∣ 10, 12, 14, 16, 18 ∣ 20, \dots$
ただし $n$ は正の整数とする。 $2000$ を含む群に属するすべての数の和を求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
等差数列 ${a_{n}}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_{n}$ とする。 $S_{5} = 35$ , $S_{10} = 120$ である。
また、等比数列 ${b_{n}}$ の公比は正の実数であり、 $b_{1} = a_{1}$ , $b_{3} = a_{13}$ を満たす。
$n$ を正の整数とするとき、和 $k = 1 \sum n (a_{k} + b_{k})$ を $n$ の式で表せ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
次のように、分母が $2, 3, 4, \dots$ の分数を順に並べた数列を考える。分母が $k$ $(k = 2, 3, 4, \dots)$ の分数としては、分子が $1, 2, \dots, k - 1$ のものをこの順に並べる。ただし、分数は約分せずに並べる。
$\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, \frac{1}{5}, \dots$
この数列の初項から第 $100$ 項までの和を求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
数列 ${a_{n}}$ は
$1, 2, 5, 12, 27, \dots$
で始まる。 ${a_{n}}$ の階差数列を ${b_{n}}$ （ $b_{n} = a_{n + 1} - a_{n}$ ）とし、さらに ${b_{n}}$ の階差数列を ${c_{n}}$ （ $c_{n} = b_{n + 1} - b_{n}$ ）とする。 ${c_{n}}$ が等比数列であるとき、一般項 $a_{n}$ を $n$ の式で表せ。ただし $n$ は正の整数とする。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
数列 ${a_{n}}$ は
$a_{1} = 3, a_{n + 1} = 3 a_{n} - 4 (n = 1, 2, 3, \dots)$
を満たす。初項から第 $n$ 項までの和 $k = 1 \sum n a_{k}$ を $n$ の式で表せ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
数列 ${a_{n}}$ は
$a_{1} = 3, a_{n + 1} = \frac{a _{n}^{2} - 1}{n + 1} (n = 1, 2, 3, \dots)$
を満たす。和 $k = 1 \sum 30 a_{k}$ の値を求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
公比が実数である等比数列 ${a_{n}}$ が
$a_{1} + a_{2} + a_{3} = 7, a_{4} + a_{5} + a_{6} = 56$
を満たしている。初項から第 $n$ 項までの和を $S_{n}$ とするとき、 $S_{n} ≧ 2000$ となる最小の正の整数 $n$ を求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
数列 ${a_{n}}$ は
$a_{1} = 3, a_{n + 1} = a_{n}^{2} - 2 n a_{n} + 2 (n = 1, 2, 3, \dots)$
を満たす。和
$k = 1 \sum 20 \frac{1}{a _{k} a _{k + 1}}$
の値を求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
数列 ${a_{n}}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_{n}$ とする。すべての正の整数 $n$ に対して
$S_{n} = 3 a_{n} - 2 n$
が成り立つとき、一般項 $a_{n}$ を $n$ の式で表せ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
数列 ${a_{n}}$ は $a_{1} = 1$ , $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 3$ $(n = 1, 2, 3, \dots)$ を満たす。 $a_{10}$ を求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
$n$ を正の整数とする。和 $k = 1 \sum n k (k + 1)$ を $n$ の式で表せ。
難易度 3（共通テストレベル）
数列 ${a_{n}}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_{n}$ が
$S_{n} = 2 n^{2} + n (n = 1, 2, 3, \dots)$
を満たすとき、和
$k = 1 \sum 20 \frac{1}{a _{k} a _{k + 1}}$
の値を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
等差数列 ${a_{n}}$ は $a_{1} = 3$ を満たし、公差は $0$ でない。また、 $a_{1}, a_{3}, a_{9}$ はこの順に等比数列をなす。さらに、初項が $a_{1}$ 、第 $2$ 項が $a_{3}$ である等比数列を ${b_{n}}$ とする。 $n$ を正の整数とするとき、和
$T_{n} = k = 1 \sum n a_{k} b_{k}$
を $n$ の式で表せ。
難易度 3（共通テストレベル）
数列 ${a_{n}}$ は、次のように群に分けたとき、第 $m$ 群 $(m = 1, 2, 3, \dots)$ が $1$ から $2 m - 1$ までの奇数を小さい順に並べた $m$ 個の項からなるものとする。
$1 ∣ 1, 3 ∣ 1, 3, 5 ∣ 1, 3, 5, 7 ∣ 1, \dots$
このとき、和 $k = 1 \sum 100 a_{k}$ を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
数列 ${a_{n}}$ は
$a_{1} = 2, a_{2} = 3, a_{n + 2} - 2 a_{n + 1} + a_{n} = 2^{n} (n = 1, 2, 3, \dots)$
を満たす。一般項 $a_{n}$ を $n$ の式で表せ。
難易度 3（共通テストレベル）
数列 ${a_{n}}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_{n}$ が
$S_{n} = 2 n^{2} + n (n = 1, 2, 3, \dots)$
で与えられている。 $n$ を正の整数とするとき、和
$k = 1 \sum n \frac{1}{a _{k} a _{k + 1}}$
を $n$ の式で表せ。
難易度 3（共通テストレベル）
数列 ${a_{n}}$ は
$a_{1} = 3, a_{n + 1} = a_{n}^{2} - 2 n a_{n} + 2 (n = 1, 2, 3, \dots)$
を満たす。このとき、
$S = k = 1 \sum 20 \frac{1}{a _{k} a _{k + 1}}$
の値を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
数列 ${a_{n}}$ は
$a_{1} = 3, a_{n + 1} = a_{n} + 2^{n} - 4 n (n = 1, 2, 3, \dots)$
を満たす。 $a_{n}$ $(n = 1, 2, 3, \dots)$ の最小値を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
数列 ${a_{n}}$ は
$a_{1} = 3, a_{n + 1} = 3 a_{n} - 4 n + 2 (n = 1, 2, 3, \dots)$
を満たす。 $n$ を正の整数とするとき、初項から第 $n$ 項までの和 $k = 1 \sum n a_{k}$ を $n$ の式で表せ。
難易度 3（共通テストレベル）
等差数列 ${a_{n}}$ は $a_{3} = 7$ , $a_{7} = 19$ を満たす。また、等比数列 ${b_{n}}$ は公比が正の実数であり、 $b_{1} = 2$ , $b_{2} + b_{3} = 12$ を満たす。 $n$ を正の整数とするとき、和
$k = 1 \sum n a_{k} b_{k}$
を $n$ の式で表せ。
難易度 3（共通テストレベル）
数列 ${a_{n}}$ は
$a_{1} = 1, a_{n + 1} = \frac{3 a _{n} - 1}{4 a _{n} - 1} (n = 1, 2, 3, \dots)$
を満たす。 $a_{n} < \frac{51}{100}$ となる最小の正の整数 $n$ を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
公比が $1$ より大きい実数である等比数列 ${b_{n}}$ が
$b_{2} = 6, b_{1} + b_{2} + b_{3} = 26$
を満たしている。また、等差数列 ${a_{n}}$ は $a_{1} = b_{1}$ , $a_{5} = b_{3}$ を満たしている。 $n$ を正の整数とするとき、和
$k = 1 \sum n a_{k} b_{k}$
を $n$ の式で表せ。
難易度 3（共通テストレベル）
数列を、第 $n$ 群 $(n = 1, 2, 3, \dots)$ が $n$ 個の項 $n, 2 n, 3 n, \dots, n \cdot n$ からなるように、次のように群に分けて並べる。
$1 ∣ 2, 4 ∣ 3, 6, 9 ∣ 4, 8, 12, 16 ∣ 5, \dots$
この数列の初項から第 $100$ 項までの和を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
数列 ${a_{n}}$ は $a_{1} = 3$ , $a_{2} = 4$ を満たす。数列 ${b_{n}}$ を $b_{n} = a_{n + 1} - a_{n}$ $(n = 1, 2, 3, \dots)$ で定める（ ${a_{n}}$ の階差数列）。数列 ${b_{n}}$ の階差数列 ${b_{n + 1} - b_{n}}$ は、初項 $2$ 、公比 $2$ の等比数列である。このとき、 $n$ を正の整数として、一般項 $a_{n}$ を $n$ の式で表せ。
難易度 3（共通テストレベル）
数列 ${a_{n}}$ を、次のように群に分ける。
$\frac{1}{2} \frac{1}{4}, \frac{3}{4} \frac{1}{8}, \frac{3}{8}, \frac{5}{8}, \frac{7}{8} \frac{1}{16}, \frac{3}{16}, \dots$
ここで、第 $m$ 群 $(m = 1, 2, 3, \dots)$ は、分母が $2^{m}$ で分子が $2^{m}$ より小さい正の奇数である分数を、分子の小さい順に並べた $2^{m - 1}$ 個の項からなる。
初項から第 $n$ 項までの和を $S_{n}$ とするとき、 $S_{n} > 1000$ となる最小の正の整数 $n$ を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
$n$ を $2$ 以上の整数とする。 $1 ≦ i < j ≦ n$ を満たす整数の組 $(i, j)$ すべてについて $(j - i) \cdot 2^{i}$ を足し合わせた和
$S = j = 2 \sum n i = 1 \sum j - 1 (j - i) \cdot 2^{i}$
を $n$ の式で表せ。
難易度 3（共通テストレベル）
すべての項が正の実数である数列 ${a_{n}}$ が、すべての正の整数 $n$ に対して
$k = 1 \sum n a_{k}^{3} = 2 (k = 1 \sum n a_{k})^{2}$
を満たしている。このとき、一般項 $a_{n}$ を $n$ の式で表せ。
難易度 3（共通テストレベル）
実数 $x$ に対して、 $x$ を超えない最大の整数を $[x]$ で表す。 $m$ を正の整数とし、 $n = 2^{m}$ とおく。このとき、和
$S = i = 1 \sum n - 1 j = 1 \sum n - 1 [\frac{ij}{n}]$
を $m$ の式で表せ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
数列 ${a_{n}}$ は
$a_{1} = 1, (n + 1) a_{n + 1} = 2 n a_{n} + n + 1 (n = 1, 2, 3, \dots)$
を満たす。一般項 $a_{n}$ を $n$ の式で表せ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
数列 ${a_{n}}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_{n}$ とする。すべての正の整数 $n$ に対して
$S_{n} = 2 a_{n} - n^{2}$
が成り立つとき、 $S_{n}$ を $n$ の式で表せ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
すべての項が正の実数である数列 ${a_{n}}$ があり、 $S_{n} = k = 1 \sum n a_{k}$ とおくと、すべての正の整数 $n$ に対して
$k = 1 \sum n a_{k}^{3} = 2 S_{n}^{2} - S_{n}$
が成り立つ。このとき、
$k = 1 \sum 30 \frac{1}{a _{k} a _{k + 1}}$
の値を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
正の整数 $k$ に対して、 $2^{m} ≦ k < 2^{m + 1}$ を満たす $0$ 以上の整数 $m$ を $f (k)$ と表す。例えば $f (1) = 0$ , $f (5) = 2$ , $f (8) = 3$ である。 $n$ を正の整数とするとき、和
$S_{n} = k = 1 \sum 2^{n} k f (k)$
を $n$ の式で表せ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
等差数列 ${a_{n}}$ は $a_{3} = 8$ , $a_{7} = 20$ を満たす。また、等比数列 ${b_{n}}$ の公比は $1$ より大きい実数であり、 $b_{2} = 4$ , $b_{1} + b_{3} = 10$ を満たす。
$m$ を正の整数とする。 $b_{1}, b_{2}, \dots, b_{2 m}$ の $2 m$ 個の項のうち、数列 ${a_{n}}$ の項として現れないものすべての和を $m$ の式で表せ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
数列 ${a_{n}}$ は
$a_{1} = 2, a_{n + 1} = 2 a_{n} + n \cdot 2^{n + 1} - 1 (n = 1, 2, 3, \dots)$
を満たす。一般項 $a_{n}$ を $n$ の式で表せ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
数列 $1 ∣ 2, 4 ∣ 3, 6, 9 ∣ 4, 8, 12, 16 ∣ 5, \dots$ は、 $n$ を正の整数として、第 $n$ 群が $n$ 個の項 $n, 2 n, 3 n, \dots, n^{2}$ をこの順に並べたものになるように、第 $1$ 群から順に項を並べたものである。この数列において、 $2024$ がはじめて現れるのは第何項か求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
実数 $x$ に対して、 $x$ を超えない最大の整数を $[x]$ で表す。 $n$ を正の整数とするとき、和
$S_{n} = k = 1 \sum n^{2} [k]$
を $n$ の式で表せ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
数列 ${a_{n}}$ を次のように群に分ける。
$1 ∣ 2, 3 ∣ 3, 4, 5 ∣ 4, 5, 6, 7 ∣ 5, \dots$
ここで、 $m$ を正の整数とするとき、第 $m$ 群は $m$ から $2 m - 1$ までの連続する $m$ 個の整数を小さい順に並べたものである。このとき、初項から第 $2000$ 項までの和 $k = 1 \sum 2000 a_{k}$ を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
数列 ${a_{n}}$ は
$a_{1} = 1, a_{2} = 3, a_{n + 2} - 3 a_{n + 1} + 2 a_{n} = 2^{n + 1} (n = 1, 2, 3, \dots)$
を満たす。一般項 $a_{n}$ を $n$ の式で表せ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
実数 $x$ に対し、 $x$ を超えない最大の整数を $[x]$ で表す。 $n$ を正の整数とするとき、和
$k = 1 \sum n (n + 1) [k]$
を $n$ の式で表せ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$n$ を正の整数とする。 $x$ の $n$ 次以下の多項式 $P (x)$ が $P (k) = 3^{k} (k = 0, 1, 2, \dots, n)$ を満たしている。このとき、 $P (n + 2)$ を $n$ の式で表せ。
難易度 5（最難関大の二次・数学オリンピック予選レベル）
2 つの数列 ${a_{k}}$ , ${b_{k}}$ を
$a_{k} = 5 k + 3, b_{k} = 2^{k} (k = 1, 2, 3, \dots)$
で定めます。数列 ${a_{k}}$ の項であり、かつ数列 ${b_{k}}$ の項でもある数を小さい順に並べた数列を ${c_{n}}$ とします。
$n$ を正の整数とします。数列 ${a_{k}}$ の項のうち、 $c_{n}$ 以下であり、かつ数列 ${b_{k}}$ の項ではないものすべての和を $T_{n}$ とします。 $T_{n}$ を $n$ の式で表しなさい。
難易度 5（最難関大の二次・数学オリンピック予選レベル）
数列 ${a_{n}}$ は
$a_{1} = 1, a_{n + 1} = 2 a_{n} + 3 a_{n}^{2} - 2 (n = 1, 2, 3, \dots)$
を満たす。 $a_{10}$ の値を求めよ。
難易度 5（最難関大の二次・数学オリンピック予選レベル）
数列 ${a_{n}}$ は
$a_{1} = 1, n a_{n + 1} = 2 (n + 2) a_{n} + n (n + 1) (n + 2) (n = 1, 2, 3, \dots)$
を満たす。一般項 $a_{n}$ を $n$ の式で表せ。
難易度 5（最難関大の二次・数学オリンピック予選レベル）
数列 ${a_{n}}$ を次のように群に分ける。 $1 ∣ 1, 2, 1 ∣ 1, 2, 3, 2, 1 ∣ 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1 ∣ 1, \dots$ ここで、 $m$ を正の整数とするとき、第 $m$ 群は $1, 2, \dots, m - 1, m, m - 1, \dots, 2, 1$ の $2 m - 1$ 個の項からなる。正の整数 $n$ に対して $S_{n} = k = 1 \sum n a_{k}$ とおく。 $S_{n} ≧ 2026$ を満たす最小の正の整数 $n$ を求めよ。
難易度 5（最難関大の二次・数学オリンピック予選レベル）
$n$ を正の整数とする。実数 $x, y$ に対し、 $x, y$ のうち大きくない方を $min {x, y}$ 、小さくない方を $max {x, y}$ で表す（ $x = y$ のときはどちらも $x$ とする）。このとき、二重和
$S_{n} = i = 1 \sum n j = 1 \sum n min {i, j} \cdot 2^{m a x {i, j}}$
を $n$ の式で表せ。
難易度 5（最難関大の二次・数学オリンピック予選レベル）
等差数列 ${a_{n}}$ は $a_{3} = 12$ , $a_{6} = 27$ を満たす。また、公比が実数である等比数列 ${b_{n}}$ は $b_{2} = 9$ , $b_{5} = 243$ を満たす。数列 ${a_{n}}$ の項であり、かつ数列 ${b_{n}}$ の項でもある数を小さい順に並べて、数列 $c_{1}, c_{2}, c_{3}, \dots$ をつくる。 $n$ を正の整数とするとき、和 $k = 1 \sum n k c_{k}$ を $n$ の式で表せ。
難易度 5（最難関大の二次・数学オリンピック予選レベル）
数列 ${a_{n}}$ は次の条件で定められている。
$a_{1} = 1, a_{2} = 3, a_{n + 2} = \frac{a _{n + 1}^{2} + 2}{a _{n}} (n = 1, 2, 3, \dots)$
このとき、和
$S = k = 1 \sum 10 \frac{1}{a _{k} a _{k + 1}}$
の値を求めよ。
難易度 5（最難関大の二次・数学オリンピック予選レベル）
数列 ${a_{n}}$ は
$a_{1} = \frac{1}{3}, a_{n + 1} = \frac{( n + 1 ) a _{n}}{2 n - ( n - 1 ) a _{n}} (n = 1, 2, 3, \dots)$
を満たす。一般項 $a_{n}$ を $n$ の式で表せ。
難易度 5（最難関大の二次・数学オリンピック予選レベル）
数列 ${a_{n}}$ は
$a_{1} = 2, n a_{n + 1} - (n + 2) a_{n} = n^{2} (n + 1) (n + 2) \cdot 2^{n} (n = 1, 2, 3, \dots)$
を満たす。一般項 $a_{n}$ を $n$ の式で表せ。
難易度 5（最難関大の二次・数学オリンピック予選レベル）
二項係数を次のように並べた数列を考え、図のように群に分ける。
$11, 11, 2, 11, 3, 3, 11, 4, 6, 4, 11, \dots$
すなわち、 $m$ を正の整数とするとき、第 $m$ 群は $m$ 個の項
$_{m - 1} C_{0},_{m - 1} C_{1}, \dots,_{m - 1} C_{m - 1}$
をこの順に並べたものである。第 $1$ 群から第 $100$ 群までに含まれる項のうち、奇数であるものの個数を求めよ。