数列の問題

第 $2000$ 項が何群にあるか

第 $m$ 群は $m$ 個の項からなるので、第 $1$ 群から第 $m$ 群までの項数の合計は
$$1+2+\cdots +m=\frac{m(m+1)}{2}$$
である。$m=62$ のとき $\frac{62\cdot 63}{2}=1953$、$m=63$ のとき $\frac{63\cdot 64}{2}=2016$ である。$1953<2000\leqq 2016$ より、第 $2000$ 項は第 $63$ 群の $2000-1953=47$ 番目の項である。

第 $1$ 群から第 $62$ 群までの和

第 $m$ 群は初項 $m$、末項 $2m-1$、項数 $m$ の等差数列なので、その和は
$$\frac{m\{m+(2m-1)\}}{2}=\frac{m(3m-1)}{2}=\frac{3m^2-m}{2}$$
である。よって、第 $1$ 群から第 $M$ 群までの和は
$$\sum _{m=1}^M\frac{3m^2-m}{2}=\frac{1}{2}\left\{3\cdot \frac{M(M+1)(2M+1)}{6}-\frac{M(M+1)}{2}\right\}=\frac{M(M+1)}{4}\{(2M+1)-1\}=\frac{M^2(M+1)}{2}$$
となる。$M=62$ とすると
$$\frac{62^2\cdot 63}{2}=1922\cdot 63=121086$$
である。

第 $63$ 群の最初の $47$ 項の和

第 $63$ 群は $63,64,\dots ,125$ である。最初の $47$ 項は $63$ から $63+46=109$ までなので、その和は
$$\frac{47(63+109)}{2}=47\cdot 86=4042$$
である。

合計

$$\sum _{k=1}^{2000}{a}_k=121086+4042=125128$$

第 $m$ 群は $m$ 個の項を持つので、第 $n$ 群までの項数は $\frac{n(n+1)}{2}$ である。$n=62$ で $1953$ 項、$n=63$ で $2016$ 項なので、第 $2000$ 項は第 $63$ 群の中にある。第 $62$ 群までで $1953$ 項あるから、第 $63$ 群の最初の $2000-1953=47$ 項までを含む。

第 $m$ 群の和は、初項 $m$、末項 $2m-1$、項数 $m$ の等差数列の和で $\frac{m(3m-1)}{2}=\frac{3m^2-m}{2}$ となる。

第 $1$ 群から第 $62$ 群までの和は
${\sum }_{m=1}^{62}\frac{3m^2-m}{2}=\frac{1}{2}\left(3\cdot \frac{62\cdot 63\cdot 125}{6}-\frac{62\cdot 63}{2}\right)=\frac{1}{2}(3\cdot 81375-1953)=\frac{242172}{2}=121086$。

第 $63$ 群の最初の $47$ 項は $63,64,\dots ,109$ で、和は $\frac{47(63+109)}{2}=47\cdot 86=4042$。

よって求める和は $121086+4042=125128$。

検算：第 $63$ 群の和は $\frac{3\cdot 63^2-63}{2}=\frac{11907-63}{2}=5922$ で、全体として妥当。また $62$ 群までの和は、第 $62$ 群の和 $\frac{3\cdot 3844-62}{2}=5735$ などと整合する。